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ぽっぽ |
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2011 ジュニア数学オリンピック
１番 xを２桁の正の整数、yを１桁の正の整数とする xの十の位、xの一の位、yが全て異なるとき、xyとして考えられる数の最大値を求めよ ２番 四角形ABCDは∠DAB＝９０度、∠ABC＝∠BCD＝６０度を満たす AB＝5、CD＝4のとき、BCを求めよ ３番 下4桁が9999であるような正の整数のうち、2011で割り切れるものの最大値を求めよ 4番 三角形ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eを、直線DEと直線BCが平行になるようにとる 線分BDの中点をMとし、線分CEの中点をNとする 四角形DMNEが面積1、四角形MBCNの面積が2であるとき、三角形ADEの面積を求めよ 5番 ある魔法使いは、以下の3つの魔法を使うことができる 魔法A:みかん1個とぶどう1個をりんご2個に変える 魔法B:りんご1個とぶどう1個をみかん3個に変える 魔法C:りんご1個とみかん1個をみかん4個に変える りんご、みかん、ぶどうが2011個づつある状態から始めて、魔法を1回以上使った結果、りんごとぶどうは2011個に戻り、みかんは2011個以上になった このときみかんは、もっとも少なくて何個あるか 6番 カードが4枚あり、それぞれ1桁の整数が1つずつ書かれている この中から異なる2枚を選び、それぞれのカードに書かれている数を足すと、全部で4種類の整数を作ることができる またこの中から2枚を選び、それぞれのカードに書かれている数をかけると、全部で3種類の数を作ることができる このとき4枚のカードに書かれている整数の組としてありうるものを全て求めよ 7番 n以上n+2011以下の平方数がちょうど23個存在するような正の整数nの最小値を求めよ 8番 三角形ABCと三角形PQRは、ともに直角2等辺三角形であり、∠ACB=∠PQR＝90度、AB=5、PR=3を満たす また3点A,P,Q、3点B，Q，R、三点R,C,Pはいずれもこの順に同一直線上にある このとき三角形ABQの面積を求めよ 9番 正の整数kに対し、kの各桁の和をS(k)で表す S(n^2)＝S(n)-7となる正の整数の最小値を求めよ 10番 5倍しても各桁の和が変わらないような1000以下の正の整数はいくつあるか 11番 1辺の長さが1の小正方形が8行8列に並んで、1辺の長さが8の正方形をなしている その中からいくつかの小正方形を次の3条件を満たすように塗りつぶす ●塗りつぶされた小正方形の配置は、対角線AC、BDの両方に対して戦対称になっている ●どの行についても、塗りつぶされた小正方形は1つ以下である ●どの列についても、塗りつぶされた小正方形は1つ以下である 塗りつぶした結果として考えられるものは何通りあるか ただし小正方形を1つも塗りつぶさなくともよい 12番 三角形ABCの内心をI、外心をOとする AB＝2、AC＝3、∠AIO＝90度が成立しているとき、三角形ABCの面積を求めよ |
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1月10日（月） 17:20:31
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