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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
世の中的にはともかく，算チャレ的には易しめかなぁ。楽しく解きました。 (解法1) △ABP を AP に関して折り返し B の移動先を D とします。∠BAP = ∠CAP なので D は AC 上にあります。 そして，DP = BP = 5 cm，∠APD = ∠APB = 60°，∠DPC = 180°- ∠APB - ∠APD = 180°- 60°- 60°= 60°です。 ここで，D から AP に平行な線を引いて BC との交点を Q とすると，∠QDP = ∠APD = 60°なので，△DPQ は正三角形です。 そこで，PQ = DQ = DP = 5 cm，CQ = CP - PQ = 8 - 5 = 3 cm です。 さらに，DQ//AP より △CDQ ∽ △CAP なので，DQ：AP = CQ：CP，5：AP = 3：8，AP = 40/3 cm，になります。 (解法2) (解法1)と同じように D を取ります。このとき，AD = AB，∠APD = ∠CPD です。 ∠BAP = ∠CAP より AB：AC = BP：CP = 5：8 なので，AD：CD = AD：(AC - AD) = AB：(AC - AB) = 5：(8 - 5) = 5：3 です。 そこで，∠APD = ∠CPD だったので，AP：CP = AD：CD，AP：8 = 5：3，AP = 40/3 cm，になります。 (解法3) B，C から AP 及びその延長上に垂線を下ろしそれぞれの足を H，I とします。 ∠CPI = ∠BPH = ∠APB = 60°より，△BPH ∽ △CPI，PH = BP/2 = 5/2 cm，PI = CP/2 = 8/2 = 4 cm です。 一方で，∠BAP = ∠CAP，∠BAH = ∠CAI なので，△BAH ∽ △CAI がいえます。 そこで，AH：AI = BH：CI = BP：CP，(AP - PH)：(AP + PI) = BP：CP，(AP - 5/2)：(AP + 4) = 5：8 がいえ， これから，線分図を描くと，8 - 5 = 3 に当たるのが 5/2 + 4 = 13/2 cm なので， AP = 13/2 * 5/3 + 5/2 = 80/6 = 40/3 cm，になります。 (解法4) △ABP を P を中心に反時計回りに回転して B を CP 上にあるようにします。 このときの A，B の移動先をそれぞれ E，F とします。∠EPF = ∠APB = 60°より，A，P，E は一直線上にあります。 さらに，C から EF に平行に線を引き AE との交点を G とします。 ∠CGA = ∠FEA = ∠FEP = ∠BAP = ∠CAP = ∠CAG なので，△CAG は CA = CG となる二等辺三角形です。 さらに，△PFE ∽ △PCG なので PE：PG = PF：PC = BP：CP = 5：8 で，PE = PA なので，AP：PG = 5：8 です。 ここで，AG の中点を M とすると，AP：AM = 5：((5 + 8)/2) = 5：(13/2) = 10：13，AP：PM = 10：(13 - 10) = 10：3 です。 一方で，△CAG は CA = CG だったので CM⊥AG で，∠CPM = ∠CPE = 60°より PM = CP/2 = 8/2 = 4 cm より， AP：4 = 10：3，AP = 40/3 cm，になります。 |
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ネコの住む家
11月11日（木） 12:32:00
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