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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
昨日も書いたように苦労しました。 いつものように朝に問題を見て，朝食を食べたり仕事の準備をしながら頭の中で考え出したのですが， どうもものすごい数になりそうで暗算ではできそうになく仕事の合間に解く持久戦に方針を変えました。 しかし，こういうときに限って立て込んでいて，考え違いも重なって夕方までかかってしまいました。 ちょっと長くなり恐縮ですが，以下に，昨日書き込んだ時点での解法を示します。 a 〜 i は，四つの数の各桁の数字を表します。 (解法1) まずは，四つの数の順番も考えて，後で 4! で割ります。 基本的な考え方としては，同じ数字を含む数が 4 個ある，3 個ある，2 個ずつの場合に分けて考えます。 (1) 同じ数字を含む数が 4 個ある場合 {a,b,c}，{a,d,e}，{a,f,g}，{a,h,i} のパターン a を各数のどの桁に入れるかで 3^4 通り，a 〜 i の 9 個に 1 〜 9 の数字を並べるのに 9! 通り，なので， 3^4 * 9! 通り，です。 (2) 同じ数字を含む数が 3 個ある場合 {a,b,c}，{a,d,e}，{a,f,g}，{b,d,f} のパターン a が入る数の特定に 4 通り，a を各数のどの桁に入れるかで 3^3 通り，a 〜 g の 7 個に 1 〜 9 の数字を並べるのに 9P7 通り， {b,d,f} の選び方に，b 又は c，d 又は e，f 又は g，の 2^3 通り，{b,d,f} の桁の並び替えに 3! 通り，なので， 4 * 3^3 * 9P7 * 2^3 * 3! = 4 * 3^3 * 9!/2! * 2^3 * 3! = 3^4 * 9! * 4 * 2^3 通り，です。 (3) 同じ数字を含む数が 2 個ずつの場合 {a,b,c}，{a,d,e}，{b,d,f}，{c,e,f} のパターン a が入る数の特定に 4C2 通り，a を各数のどの桁に入れるかで 3^2 通り，a 〜 e の 5 個に 1 〜 9 の数字を並べるのに 9P5 通り， {b,d,f} の選び方に，b 又は c，d 又は e，の 2^2 通りと f の 4 通り，{c,e,f} の選び方は 1 通り， {b,d,f}，{c,e,f} の桁の並び替えに 3! * 3! 通り，なのですが， 出来上がる結果は b 〜 f も a と同等な配置になっているので 6 通りで割る必要があり， 4C2 * 3^2 * 9P5 * 2^2 * 4 * 3! * 3! * 1/6 = 6 * 3^2 * 9!/4! * 2^2 * 4 * 3! * 3! * 1/6 = 3^3 * 9! * 2^3 通り，です。 以上ですべてなので，これらを足して 4! で割ればよく， (3^4 * 9! + 3^4 * 9! * 4 * 2^3 + 3^3 * 9! * 2^3)/4! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 3 * 3 * 3 * (3 + 3 * 4 * 2 * 2 * 2 + 2 * 2 * 2) = 408240 * 107 = 43681680 通り (解法2) 最初から，四つの数の組として考えます。 基本的な考え方は同じで，同じ数字を含む数が 4 個ある，3 個ある，2 個ずつの場合に分けて考えます。 なお，以下では，(解法1)との比較を意識した計算をしています。 (1) 同じ数字を含む数が 4 個ある場合 {a,b,c}，{a,d,e}，{a,f,g}，{a,h,i} のパターン a を選ぶのに 9 通り，b 〜 i は 8 個の数字を 2 個ずつ 4 組に分ければいいので (8C2 * 6C2 * 4C2 * 2C2)/4! 通り， 各数の桁の並べ替えで 3! * 3! * 3! * 3! 通り，なので， 9 * (8C2 * 6C2 * 4C2 * 2C2)/4! * 3! * 3! * 3! * 3! = 9 * 8!/2!2!2!2! * 3! * 3! * 3! * 3! * 1/4! = (3^4 * 9!) * 1/4! 通り です。 (2) 同じ数字を含む数が 3 個ある場合 {a,b,c}，{a,d,e}，{a,f,g}，{b,d,f} のパターン a を選ぶのに 9 通り，b 〜 g は 8 個の数字を 2 個ずつ 3 組に分ければいいので (8C2 * 6C2 * 4C2)/3! 通り， {b,d,f} の選び方に，b 又は c，d 又は e，f 又は g，の 2^3 通り，各数の桁の並べ替えで 3! * 3! * 3! * 3! 通り，なので， 9 * (8C2 * 6C2 * 4C2)/3! * 2^3 * 3! * 3! * 3! * 3! = 9 * 8!/2!2!2!2! * 2^3 * 3! * 3! * 3! * 3! * 4/4! = (3^4 * 9! * 4 * 2^3) * 1/4! 通り です。 (3) 同じ数字を含む数が 2 個ずつの場合 {a,b,c}，{a,d,e}，{b,d,f}，{c,e,f} のパターン a を選ぶのに 9 通り，b 〜 e は 8 個の数字を 2 個ずつ 2 組に分ければいいので (8C2 * 6C2)/2! 通り， {b,d,f}，{c,e,f} の選び方は，b，c を分けておいてそれに d，e を振り分ければいいので 2 通り，と f の 4 通り， 各数の桁の並べ替えで 3! * 3! * 3! * 3! 通り，なのですが， 出来上がる結果は b 〜 f も a と同等な配置になっているので 6 通りで割る必要があり， 9 * (8C2 * 6C2)/2! * 2 * 4 * 3! * 3! * 3! * 3! * 1/6 = 9 * 8!/2!2!4! * 2 * 2 * 3! * 3! * 3! = (3^3 * 9! * 2^3) * 1/4! 通り です。 以上ですべてなので，これらを足せばよく， (3^4 * 9!) * 1/4! + (3^4 * 9! * 4 * 2^3) * 1/4! + (3^3 * 9! * 2^3) * 1/4! = (3^4 * 9! + 3^4 * 9! * 4 * 2^3 + 3^3 * 9! * 2^3)/4! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 3 * 3 * 3 * (3 + 3 * 4 * 2 * 2 * 2 + 2 * 2 * 2) = 408240 * 107 = 43681680 通り こう書いてしまえば，面倒かつ計算が大変とはいえ普通の問題とあまり変わらないのですが， また実際，昨日は(解法1)の方向でいい線は行っていたのですが， 最初，(解法1)の(2)で最初の 4 通りを忘れて 4! で割ってしまいうまくいかず， 仕方がないので(解法2)も考えて，(解法1)の(2)の最初の 4 通りに気付いたら今度は(3)で 6 で割るのを忘れたり， 二つの解法を比較しながら正解に近づいて行った，というのが正直なところでした (^^; |
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ネコの住む家
10月8日（金） 14:19:09
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