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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
問題そのものは，頭の中だけで割とあっさり解けたんだけど，文字式＋三平方の定理もどきで，算数とは言い難い感じ．．．(^^; まず，比を求めるので，結果は全体のスケールには依存せず，立方体の一辺を 1 として考えます。 さらに，後で使うのですが，面積の関係から，AF * AF = □AEFB * 2 = 1 * 2 = 2，がいえます。 さて，P のある上から下を見ると，対称性より，D (= F) を中心とした 正六角形ABCGHE が見え， P，D から，床に投影した影は，この正六角形を投影したものになります。 今，A，B，G について，P から床に投影した点を Q，R，S とし，D から床に投影した点を I，J，K とします。 対称性より，FR = FS，FJ = FK で， イ/ア = (△FIJ * 6)/(△FQR * 6) = (FI * FJ)/(FQ * FR) = FI/FQ * FK/FS ここで，A，F，G，D を通る平面で切って，その断面で考えます。 明らかに，P，I，Q，S，K もこの断面上にあり， (P，A，Q)，(P，G，S)，(D，A，I)，(D，G，K)，(P，D，F)，(I，Q，F，S，K) は，それぞれこの順に同一直線上にあり， □DAFG は長方形，PF⊥IK です。 メネラウスの定理より， IQ/QF * FP/PD * DA/AI = 1，IQ/QF * 2/1 * DA/AI = 1，IQ/QF = AI/DA * 1/2 KS/SF * FP/PD * DG/GK = 1，KS/SF * 2/1 * DG/GK = 1，KS/SF = GK/DG * 1/2 ここで，A，G から DF に垂線を下ろしその足を X，Y とすると，三角形の相似を使って， DX：AX：FX = (AD * AD)：(AD * AF)：(AF * AF) DY：GY：FY = (GD * GD)：(GD * GF)：(GF * GF) = (AF * AF)：(AF * AD)：(AD * AD) AI/DA = XF/DX = (AF * AF)/(AD * AD) = 2 GK/DG = YF/DY = (AD * AD)/(AF * AF) = 1/2 なので， IQ/QF = 1，FQ = IQ，FI = IQ * 2 KS/SF = 1/4，FS = KS * 4，FK = KS * 5 これより， イ/ア = FI/FQ * FK/FS = 2/1 * 5/4 = 5/2 になります。 P のある上から下を見たときに ABCGHE が正六角形に見えることから，もう少しうまくいえそうな気がしていますが， 掲示板を読んで勉強します (^^; |
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ネコの住む家
9月24日（金） 13:16:56
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