|
uchinyan |
|
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，以前に類題を解いたような気がします。ただ，今回は AB が与えられていないので，特殊化して解くのが楽そうですね。 算数では，直感混じりはともかく，真面目に説明するのは，少し面倒な，若干算数の範囲を超える？，ような気がします。 P，Q の二点の両方を同時に動かすとややこしくなるので，まずは，P を固定し Q だけを動かします。 P と B を結び 直線PB と 円B との交点を P に近い方から C，D とします。 さらに，Q が C に一致したときの M を E，Q が D に一致したときの M を F とします。E は PC の中点，F は PD の中点です。 すると，任意の Q に対して，∠CQD = 90°で， PM = QM，PE = EC より ME//QC，PM = QM，PF = FD より MF//QD，なので， ∠EMF = ∠CQD = 90°になり，M は EF を直径とする円を描きます。 このときの円の中心は EF の中点です。これを N とします。そして， 円の半径 = EN = FN = EF/2 = (PF - PE)/2 = (PD/2 - PC/2)/2 = (PD - PC)/4 = CD/4 = BC/2 = 5/2 cm また，PN = PE + EN = PC/2 + EF/2 = PC/2 + BC/2 = PB/2 なので，N は PB の中点です。 ここまでで，P を固定した場合に，M は，中心を N，半径 5/2 cm，の円を描くことが分かりました。 次に，P を動かします。 A と B を結び 直線AB と 円A との交点を B から遠い方から G，H とします。 さらに，P が G に一致したときの N を I，P が H に一致したときの N を J とします。I は BG の中点，J は BH の中点です。 すると，先ほどと全く同じようにして，任意の P に対して，∠GPH = 90°で， PN = BN，GI = BI より NI//PG，PN = BN，HJ = BJ より NJ//PH，なので， ∠INJ = ∠GPH = 90°になり，N は IJ を直径とする円を描きます。 このときの円の中心は IJ の中点です。これを O とします。そして， 円の半径 = IO = JO = IJ/2 = (BI - BJ)/2 = (BG/2 - BH/2)/2 = (BG - BH)/4 = GH/4 = AG/2 = 3/2 cm そこで，円N の中心 N は，中心を O，半径 3/2 cm，の円を描くことが分かります。 以上で，結局，M の軌跡は，中心 O で半径 3/2 cm の円周上に中心 N がある半径 5/2 cm の円，と分かります。 後は，これを動かしてみればいいのですが， O から一番遠いのは，半径 5/2 + 3/2 = 4 cm の円，O から一番近いのは，半径 5/2 - 3/2 = 1 cm の円， なので，O を中心とした半径 4 cm の円から，O を中心とした半径 1 cm の円を引いたドーナツ形が，求める範囲です。 そこで，4 * 4 * 3.14 - 1 * 1 * 3.14 = 15 * 3.14 = 47.1 cm^2 になります。 この解法では，うっかりして，最後に半径 1 cm の円を引くのを忘れてしまうかもしれません。実は，私がそうでした (^^; 最初に Q を固定し，次に Q を動かすと考えると，M の軌跡は，半径 5/2 cm の円周上に中心がある半径 3/2 cm の円，となります。 一見，違って見えますが，実際に動かしてみれば，動く範囲はもちろん同じになります。 しかも，中心が同じ半径 4 cm の円から半径 1 cm の円を引いたドーナツ形が求める範囲になるのは，より分かりやすいようです。 なお，数学になりますが，座標を使うのも分かりやすそうですね。 |
|
ネコの住む家
7月29日（木） 21:27:38
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 36524 |