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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
今日はいろいろと忙しいのですが，平面幾何らしい問題は，久し振り，という感じで，すっかり堪能してしまいました (^^; (解法1) △BPQ を B の回りに時計回りに回転し BP を BC に重ね，P，Q の移動先を P'，Q' とします。 すると，BQ = BQ'，∠QBQ' = ∠QBP' + ∠P'BQ' = ∠QBC + ∠PBQ = ∠PBC = ∠ABC = 60°なので， △BQQ' は正三角形で，QQ' = QB = AQ = 5cm です。 さらに，∠BP'Q' = ∠BPQ = ∠QAP + ∠AQP = ∠CAB + 60°= ∠CAB + ∠ABC = ∠P'CA より P'Q'//AC で， QQ' とBP' との交点を R とすると，△P'Q'R ∽ △CQR になります。 さらに， ∠QRC = ∠QRB = 180°- ∠RBQ - ∠RQB = 180°- (∠CBA - ∠QBA) - ∠Q'QB = 180°- (60°- ∠CAB) - 60°= ∠CAB + 60°= ∠P'CA = ∠QCR より，△CQR は QR = QC の二等辺三角形で，△P'Q'R も Q'R = Q'P' の二等辺三角形になり， QP + QC = Q'P' + QC = Q'R + QR = QQ' = 5 cm です。 そこで，QP：QC = 1：2 より，QP = 5 * 1/(1 + 2) = 5/3 cm になります。 △BCQ を B の回りに反時計回りに回転し BC を AB に重ねて正三角形を作っても，同様にできます。 この方が分かりやすそうですね。 (解法2) QP を P の方に延長し QD = 5 cm となる点 D を取ります。すると，△QAD は正三角形です。 さらに，AB 又はその延長上に ∠DEA = ∠DAB となる点 E をとります。△DAE は DA = DE の二等辺三角形です。 すると，△DEP，△QBC において， DE = DA = QA = QB = 5 cm ∠DEP = ∠DEA = ∠DAE = ∠DAQ - ∠QAB = 60°- ∠QAB = ∠CAB - ∠QAB = ∠QBC ∠DPE = ∠QPA = 180°- ∠QAP - ∠AQP = 180°- ∠CAB - ∠ABC = ∠ACB = ∠QCB ∠EDP = 180°- ∠DEP - ∠DPE = 180°- ∠QBCQ - ∠QCB = ∠BQC より，△DEP ≡ △QBC となり，DP = QC になります。 そこで，QP + QC = QP + DP = QD = QA = 5 cm，QP：QC = 1：2 より，QP = 5 * 1/(1 + 2) = 5/3 cm になります。 (解法3) 算数ではないですが．．． ∠AQP = 60°= ∠CBP より，□QPBC は円に内接します。また，QA = QB より ∠QAB = ∠QBA です。 そこで，∠PCQ = ∠PBQ = ∠QAP なので，△PAC は PA = PC の二等辺三角形です。 ここで，P より AC に垂線を下ろしその足を H とすると，AH = CH です。 一方で，∠PQA = 60°より QH = PQ/2 になり，AH = CH = CQ + QH = PQ * 2 + PQ/2 = PQ * 5/2 です。 これらより，AQ = AH + QH = PQ * 5/2 + PQ/2 = PQ * 3，AQ = 5 cm より，PQ = 5/3 cm になります。 まだまだありそうですね。 掲示板を読むのは遅くなるかもしれません．．． |
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ネコの住む家
7月1日（木） 14:33:50
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