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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，類題を解いたことがあります。フィボナッチ数列ですね。 数学っぽくなってしまいましたが，こんな感じで。 (解法1) 漸化式による解法です。多分，表か何かで説明した方が分かりやすいでしょうが，一応。 一般に，n 日目より前の日の勝負に注目して n 日目の場合を考えると， n-2 日目が勝で n-1 日目が勝 の場合，n 日目は負だけ n-2 日目が勝で n-1 日目が負 の場合，n 日目は勝又は負 n-2 日目が負で n-1 日目が勝 の場合，n 日目は勝又は負 n-2 日目が負で n-1 日目が負 の場合，n 日目は勝だけ しかあり得ません。これより，場合の数は， (n 日目が勝) = (n-2 日目が勝で n-1 日目が負) + (n-2 日目が負で n-1 日目が勝) + (n-2 日目が負で n-1 日目が負) (n 日目は負) = (n-2 日目が勝で n-1 日目が勝) + (n-2 日目が勝で n-1 日目が負) + (n-2 日目が負で n-1 日目が勝) これは，場合の「数」としては， (n-2 日目が勝で n-1 日目が負) + (n-2 日目が負で n-1 日目が負) = (n-1 日目が負) (n-2 日目が勝で n-1 日目が勝) + (n-2 日目が負で n-1 日目が勝) = (n-1 日目が勝) (n-2 日目が負で n-1 日目が勝) = (n-2 日目が負) (n-2 日目が勝で n-1 日目が負) = (n-2 日目が勝) なので， (n 日目が勝) = (n-1 日目が負) + (n-2 日目が負) (n 日目は負) = (n-1 日目が勝) + (n-2 日目が勝) となり，結局， (n 日目) = (n 日目が勝) + (n 日目は負) = (n-1 日目が負) + (n-2 日目が負) + (n-1 日目が勝) + (n-2 日目が勝) = (n-1 日目) + (n-2 日目) つまり， (n 日目) = (n-1 日目) + (n-2 日目) です。ただし，(1 日目) = 2，(2 日目) = 4 です。後は，n = 15 まで繰り返して， 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178, 288, 466, 754, 1220, 1974 そこで，1974 通り になります。 (解法2) こんな解法もありますね。 要するに，勝ち負けは二回までしか続かないので， 15 日間で，連勝も連敗もしない場合 A を a 回，二連勝又は二連敗の場合 B を b 回，とすると， a + 2b = 15 これより，(a,b) = (15,0), (13,1), (11,2), (9,3), (7,4), (5,5), (3,6), (1,7) です。 これらの a，b に対して A，B を一列に並べ，左端から，勝，負 又は 負，勝 を交互にふっていきます。 例えば，AAABBABBAAA の場合は， 勝 負 勝 負負 勝勝 負 勝勝 負負 勝 負 勝 又は 負 勝 負 勝勝 負負 勝 負負 勝勝 負 勝 負 これが，題意の星取り表と一対一に対応します。 また，a，b に対する A，B の並べ方は a + b 個から b 個を選ぶのと同じなので (a+b)Cb 通りです。 そこで，求める場合の数は， (15C0 + 14C1 + 13C2 + 12C3 + 11C4 + 10C5 + 9C6 + 8C7) * 2 = (1 + 14 + 78 + 220 + 330 + 252 + 84 + 8) * 2 = 987 * 2 = 1974 通り になります。 |
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ネコの住む家
6月24日（木） 13:09:43
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