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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
算数問題ということを考慮すると，図形がかなり限定されてしまうので勘でも解けちゃいそうですが， まぁ，こんな感じで解きました。 Q，M より 平面ABCD に下ろした垂線の足を R，N とします。 P は 平面ABCD の辺上の点，Q は 平面EFGH の辺上の点，なので R，N は 平面ABCD の辺上にあります。 さらに，△PQR は，∠PRQ = 90°，PQ = 5 cm，QR = AE = 4 cm なので 3：4：5 の直角三角形で，常に PR = 3 cm です。 そして，M は PQ の中点より，N は PR の中点，PN = RN = 3/2 cm です。 また，MN = 4/2 = 2 cm = 一定，MN⊥平面ABCD なので，M が描く図形と N が描く図形とは全く同じ，合同，になります。 そこで，この問題は， 正方形ABCD の辺上に P，R があり PR = 3 cm となる線分 PR の中点 N が描く図形の長さを求める問題 と同じになります。 要するに，立方体を上から見たときに 平面ABCD に見える／映るものを考えればいい，ということですね。 このとき，P，R が共に 正方形ABCD の一つの辺上にあるか，P，R が異なる辺上にあるか，二つの可能性があります。 ・P，R が共に 正方形ABCD の一つの辺上にあるとき 例えば AB 上にあるとすると，N の描く図形は，AN = 3/2 cm 〜 5/2 cm (= 4 - 3/2) の線分で，その範囲は 5/2 - 3/2 = 1 cm です。 他の辺でも同じなので，この場合の合計は，1 * 4 = 4 cm です。 ・P，R が 正方形ABCD の異なる辺上にあるとき 長さの関係から，正方形ABCD の各頂点をはさむ隣り合う辺上しかありえません。 そこで，例えば，P が AB 上，Q が BC 上にあるとすると，△PBR は ∠PBR = 90°の直角三角形です。 ここで，N から BC に平行な線を引き PB との交点を S とすると，∠PSN = ∠PBR = 90°で， また △PSN ∽ △PBR より PS：SB = PN：NR = 1：1，PS = SB となり，△PNS ≡ △BNS，PN = BN です。 つまり，BN = PN = RN = 3/2 cm で，N の描く図形は，B を中心とし半径 3/2 cm の円の 1/4 です。 他の頂点の周りでも同じなので，合わせると，N の描く図形は，半径 3/2 cm の円になります。 そこで，その長さは，3/2 * 2 * 3.14 = 9.42 cm です。 以上ですべてなので，合計して， M の描く図形の長さ = N の描く図形の長さ = 4 + 9.42 = 13.42 cm になります。 ちょっと丁寧に書いていたら冗長になりました (^^; |
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ネコの住む家
6月10日（木） 12:40:44
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