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uchinyan |
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#36143 スモークマンさん
hideさんの#36144と基本的には同じです。解けていませんが，一応書いておきますね。 等比数列の和より 1/a = ab/10^(n+c) * (1 + b/10^c + (b/10^c)^2 + ...) = ab/10^(n+c) * 1/(1 - b/10^c) = ab/(10^n * (10^c - b)) a^2 * b = 10^n * (10^c - b) a^2 = 10^(n+c)/b - 10^n a^2，10^n はともに自然数なので 10^(n+c)/b も自然数で，m，k を 0 以上の整数として， a^2 = 2^m * 5^k - 10^n b = 2^(n+c-m) * 5^(n+c-k) とおけます。実は，最初の式で決まる a，n，m，k に対して b を決める際に c には自由度があるのですが， b が最小の整数になるように c を選ぶことにします。 ここで，まず n = 0 の場合を考えてみました。 それは，n = 0 の場合の解 a^2 = 2^m * 5^k - 1 が見つかれば，p を 0 以上の整数として， (a * 10^p)^2 = 2^(m+2p) * 5^(k+2p) - 10^(2p) n = 2p の場合の解も見つかるからです。 ただ，話はそう単純ではなく，n が正の整数のこれ以外の解もあります。それは， b = 2^(n+c-m) * 5^(n+c-k) の m や k が n や c 単独よりも大きく n+c 以下の場合です。 それが，a = 5, 55, 75 の場合で，これらは試行錯誤で見つけました。まだあるかもしれません。 一方，n = 0 の場合ですが， a^2 = 2^m * 5^k - 1 b = 2^(c-m) * 5^(c-k) この場合は c = max(m,k) とすればいいですね。 ここで，a^2 + 1 は 4 で割って 1 又は 2 余る数なので m = 0 又は 1 です。そこで， (1) a^2 = 5^k - 1 の場合 m = 0, k = 0, a = 0 不可 m = 0, k = 1, a = 2, c = 1, b = 2 は，すぐに分かります。 また，k が 2 以上の偶数の場合に解がないのも明らかでしょう。 問題はそれ以外で，解はなさそうですが，分かっていません。 (2) a^2 = 2 * 5^k - 1 の場合 m = 1, k = 0, a = 1, c = 1, b = 5 m = 1, k = 1, a = 3, c = 1, b = 1 m = 1, k = 2, a = 7, c = 2, b = 2 は，すぐに分かります。問題は，それ以外です。 ただ，hideさんの最後部分の証明が詳細に示されれば，k が偶数の場合は解決されますね。 というわけで，現時点で私が分からないのは， ・a^2 = 5^k - 1，k は 3 以上の奇数 ・a^2 = 2 * 5^k - 1，k は 3 以上の整数 ・n が 1 以上の n = 0 からは導けない解 になります。 なお，最初の二つは，ペル方程式 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%83%AB%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F という有名な方程式の形をしているので，そちらからのアプローチでできそうな気もするのですが．．． |
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ネコの住む家
5月4日（火） 13:27:33
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