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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これは，格子点上の図形の面積を与えるピックの公式を知っていれば，それを使うのが簡単だと思いますが， それを知らない前提で考えてみました。 (解法1) 平行四辺形ABCD の斜めの辺，AD，BC，の傾きは 39/(54 - 2) = 39/52 = 3/4 です。 これを基に，AD と BC との間にある格子点の数を左下隅から右に順に数えると，規則性があることが分かり， 0, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, ... (1, 2, 1, 1 が 12 回繰り返す) ..., 1. 2, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 0 となっています。 そこで，求める個数は，(1 + 2 + 1 + 1) * 12 + (1 + 2 + 1) = 5 * 12 + 4 = 64 個，になります。 (解法2) (解法1)と同様に，傾き 3/4 に注目し，まず，下の横線とAD 上を除いた AD 以下にある格子点を数えます。 これは，基本的には，3/4 * ○，○ = 0, 1, 2, 3, ..., 50, 51, 52，の整数部分の値ですが， AD 上は除くので，3/4 * ○ 自体が整数になる場合は 1 を引く必要があります。そこで， 0 + 0 + (1 + 2 + (3 - 1) + 3) + (4 + 5 + (6 - 1) + 6) + ... + (34 + 35 + (36 - 1) + 36) + (37 + 38 + (39 - 1)) = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 37 + 38) + (2 + 5 + 8 + ... + 35 + 38) = (1 + 38) * 38 * 1/2 + (2 + 38) * 13 * 1/2 = 741 + 260 = 1001 個 同様にして，今度は，下の横線は除きますが BC 上は含めた BC 以下にある格子点を数えます。 これは -1 がない以外は先ほどと同様で， 0 + 0 + (1 + 2 + 3 + 3) + (4 + 5 + 6 + 6) + ... + (34 + 35 + 36 + 36) + (37 + 38 + 39) = 1001 + 13 = 1014 個 そこで，求める個数は，C の扱いに注意して， (□ABCD の内部の格子点の個数) + (両端を除いた右端の縦線上の格子点の個数) + (C) - (BC 上は含めた BC 以下にある格子点の個数) = (1001 + (39 - 1)) + (39 - 1) + 1 - 1014 = 76 + 1 - 13 = 64 個 になります。 (解法3) (解法2)から思い付くと思いますが，もう少し要領よく数えられます。 図をじっと眺めていると，AD 以上の三角形と BC 以下の三角形が合同であることから，求める個数は， (辺上も含めた全体の長方形内の格子点の個数) - (AD 以上の三角形と BC 以下の三角形を合わせた長方形の辺上も含めた格子点の個数) - (AD 上の格子点の個数) - (AB 上又は CD 上で両端を除いた格子点の個数) になっていることが分かります。 そこで，求める個数は， (54 + 1) * (39 + 1) - (54 - 2 + 1) * (39 + 1) - 14 - 2 = 55 * 40 - 53 * 40 - 14 - 2 = 80 - 16 = 64 個 になります。 |
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ネコの住む家
4月15日（木） 15:33:15
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