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doba |
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３番はこんな感じでしょうか。
５本の線分を長い方から順にa,b,c,d,e（a≧b≧c≧d≧e）としておきます。 ここから３本を選んだ組合せ10通りのうち９通りにおいて それで作る三角形が鋭角三角形となるので、 残る１通りの組合せをx,y,z（x≧y≧z）とします。 (i) a＞xのとき a,y,zの組合せは（鋭角）三角形となるので、 a＜y+zより、x＜y+zが言え、x,y,zは三角形を作ります。 (ii) z＞eのとき x,y,eの組合せは（鋭角）三角形となるので、 x＜y+eより、x＜y+zが言え、x,y,zは三角形を作ります。 (iii) x=aかつz=eで，y＞dのとき x,d,z（すなわち，a,d,e）の組合せは（鋭角）三角形となるので、 x＜d+zより、x＜y+zが言え、x,y,zは三角形を作ります。 (iv) x=aかつz=eかつy=dのとき (a,c,e)，(a,c,d)，(c,d,e)の組合せは鋭角三角形となるので、 a^2＜c^2+e^2 …(1) a^2＜c^2+d^2 …(2) c^2＜d^2+e^2 …(3) (1)+(2)+2*(3) 2*a^2+2*c^2＜2*c^2+d^2+e^2 ∴ 2*a^2＜d^2+e^2 a^2＜2*a^2，d^2+e^2＜(d+e)^2より、 a^2＜(d+e)^2 ∴ a＜d+e よって、a,d,e（すなわち，x,y,z）の組合せは，三角形を作ります。 これで、全ての場合を尽くしています。 こういう問題では、まず長さの順に並べてから議論すると、整理できますね。 なお、(i)(ii)(iii)の場合は、単に三角形というだけではなく、 鋭角三角形となっています。 #35789 スモークマンさん ５番ですが、数学的帰納法はそんなに難しい議論ではないので、 ジュニアであっても、やることは一緒なのではないでしょうか。 （表現の仕方として、数学的帰納法の考え方そのものを説明するような 表現に変わるぐらい？） |
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2月14日（日） 21:20:52
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