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doba |
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ジュニア数オリの５番は、数学的帰納法でいけると思います。
(i) n=2のときは、白黒交互か、そうでないかの２通りしかなく、前者の場合交点なし、後者の場合交点１でなので、交点の数はn-1=1以下。 (ii) n=kのとき、交点の数をk-1以下にできると仮定する。 n=k+1のときは、まず2(k+1)の点のうち時計回りに白点→黒点の順で隣り合っているところを１箇所探し、その白点を１番、黒点を２番とし、そこから時計回りに全ての点に2(k-1)番まで番号を振っておく。このとき、仮定より、１番と２番を除いた2k個の点だけに着目して、(1)(2)を満たすように線分で結んで、交点をk-1個以下にすることができる。ここで、３番の点と線分でつながっている２点のうち番号の大きい方をp番とする。 ・３番が白（p番は黒）のとき p番と２番を結ぶ線分を消し、p番→１番→２番→３番と結ぶと、１番→２番→３番の２つの線分は交点を作らず、p番→１番上の交点の数は、元のp番→３番上の交点の数と変わらないので、全体での交点の数は変わらずk-1個以下であって、なおかつ(1)(2)を満たす。 ・３番が黒（p番は白）のとき p番と３番を結ぶ線分を消し、p番と２番を結んでも交点の数は変わらず、さらに２番→１番→３番の順で結ぶと、p番→２番と１番→３番の交点が新たに１つだけ増えるので、全体での交点の数はk個以下であり、なおかつ(1)(2)を満たす。 よって、n=k+1のとき(1)(2)を満たし、交点をk個以下とすることができる。 (i)(ii)より、n≧2で与えられた命題が成立。 ちなみに、 ＃35785 ぽっぽさん ３番ですが、もしかしたら題意を取り違えておられるかもしれません。 この問題は、要するに５本の竹ひごがあって、そのうち３本を使って三角形を作る話だと思います。（３本の「線分」と言われると、平面上に固定された線分をイメージしてしまいますが、それではこの中から３本選ぶ10通りで三角形を作るという設定の意味が通らなくなるので、ここでは「長さは保ったまま動かせる線分」を考えることになります。） |
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2月14日（日） 15:44:12
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