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ぽっぽ |
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2010年度 ジュニア数学オリンピック 本選
1，nを3以上の整数とする。 どの内角も１２０°か２４０°であり、辺の 長さが全て等しいnが存在するようなnを全て求めよ ２，次の条件を満たす正の整数nが存在するような、非負整数kの最大値を 求めよ 条件：nはk+1桁以下の平方数であり、kいかのどんな整数iにたいしても、 ｎの下i桁を取り除いてできた数は平方数になっている。 ３，５本の線分がある。この中から３本選ぶ方法は１０通りあるが、その うち９通りでは３本を辺とする鋭角三角形が作れる。このとき残りの１通 りで選んだ３本を辺とする三角形を作れることを示せ ４，三角形ＡＢＣがある。点Ｂ，Ｃを通る円Ｏが、線分ＡＢ，ＡＣ（端点 を含まない）とそれぞれ点Ｄ，Ｅで交わっており，ＡＤ＋ＡＥ＝ＢＣが成 り立っている。三角形ＡＢＣの内心をＩとし，直線ＢＩ，ＣＩが円Ｏと交 わるＢ，Ｃ以外の点をそれぞれＰ，Ｑとするとき，Ａ，Ｉ，Ｐ，Ｑは同一 円周上にあることを示せ。 ５，ｎを2以上の整数とする。円周上に白点と黒点がｎ個ずつ計2ｎ個ある これらの点に対し、以下の条件を満たすように2n本の線分を引くことを考 える。 （１）どの線分も１つの白点と１つの黒点を端点に持つ。 （２）これらの線分を順に辿ることで、全ての点を１回ずつとおり1集する 事ができる。 このときどのような点の配置に対しても、線分どうしの交点がｎ-1個以下 になるように線分を引ける事を示せ。ただし線分の端点は交点とみなさな い事にする。 問いて見ての感想 １；正六角形がくっついてできた図形になることに気付けば簡単 難易度★☆☆☆☆ 2；ｋが4のときに矛盾が生じる事を示したが何かと不安がある 難易度★★★☆☆ 3；条件を図で表せれば何の問題も無い 難易度★★☆☆☆ 4；補助線を引いたが解けない。やっと数学オリンピックらしい問題 難易度★★★★☆ 5；歯が立たない。自分の力では解けないらしい 難易度★★★★★ |
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2月11日（木） 21:03:39
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