|
doba |
|
#35663
25個の立体を使って１辺が５の立方体ができたとします。 この立方体をある面に平行に５等分したものを１段目〜５段目とすると、 全ての立体は２つの連続した段に含まれます。 そこで、 １段目と２段目にまたがる立体：a個 ２段目と３段目にまたがる立体：b個 ３段目と４段目にまたがる立体：c個 ４段目と５段目にまたがる立体：d個 とすると、当然a+b+c+d=25です。 また、ある段にその一部が含まれる立体の、５×５の面に現れる形状を考えると、いずれも２×２の正方形に含まれます。 ここで、５×５の正方形を、同じ向きに置いた２×２の正方形で埋め尽くす（重なってもよい）ことを考えると、最低でも９個必要です。（縦横とも２個では足りないので、自明な気がしますが、厳密に説明するのは少し面倒です。） そこで、ある段に含まれる立体がn個あるとすると、これらの立体の５×５の面に現れる形状はいずれも２×２の正方形に含まれるので、５×５の正方形はn個の２×２の正方形で埋め尽くせることになり、n≧9が言えます。 このことを使うと、１段目と５段目に含まれる立体の個数はそれぞれa個、d個なので、a≧9、d≧9となり、a+b+c+d=25よりb+c≦7となりますが、３段目に含まれる立体の個数はb+c個なのでb+c≧9となり、矛盾します。 以上より、25個の立体を使って１辺が５の立方体ができるという仮定が誤りだということがわかり、その立体を組み合わせてできる立方体の１辺の最小値は５ではありません。 あとは、この立体４個を使って２×２×５の直方体が作れることは容易に示せるので（下図）、１辺が10の立方体が作れることが言え、それが最小の立方体となります。 壱弐参参四 壱弐弐参四 壱壱参参四 壱弐弐四四 |
|
1月23日（土） 22:17:47
35666 |