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英ちゃん |
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#35623
JMO受けました。試験会場で8問といたのですが、ミスが多発したのでおそらく予選突破できないでしょう（笑）。 12番だけ未だに答えが出せません・・・。 問１ a>b>c>d>e>f をみたし、 a+f=b+e=c+d=22 となる 正の整数の組（a,b,c,d,e,f）はいくつあるか。 問２ ０以上１００００以下の整数の中で １０進法表記したときに１が現れないようなものすべての平均を求めよ。 問３ 各けたの数字が相異なり、どれも０でないような三桁の整数ｎがある。 ｎの各けたの数字をならべかえて作った６つの数の最大公約数として 考えられるものの中で最大のものを求めよ。 問３ 四角形ABCDは半径１の円に内接し、対角線同士のなす角は６０°である。 対角線の交点をPとすると、AP=1/3,CP=2/3である。このときBPとDPの 差の絶対値としてありうるものを全て求めよ。 問５ 正２０１０角形がある。その相異なる３頂点A、B、Cの組のうち、三角形ABCの 内角が全て整数度（１°の整数倍）となるようなものの個数を求めよ。 ただしA,B,Cを並べ替えただけの組は同じものとみなす。 問６ 赤、青、白色の島がそれぞれ３つずつある。 これらのしまに以下の２条件を満たすように橋をかける。 １、どの２つの島も、一本の端で結ばれているかいないかであって、 橋の両端は相異な二つに島に繋がっている。 ２、同色の二つの島の間には橋が架かってない また同色の島の両方と橋で直接繋がっている島も存在しない。 橋のかけ方は何通りあるか、ただし一本も橋を架けないのも１通りとする。 問７ 正の整数からなる無限数列、A(1),A(2),A(3),.....がある。 任意の正の整数ｎに対して次の２つの条件 １、A(n)はnの倍数 ２、｜A(n)-A(n+1)｜<=5 （５以下） が成り立つとき、A(1)としてありうる最大の数を求めよ。 問８ 三角形ABCの内部に点Pがある。 AP=√(3),BP=5,CP=2 AB:AC=2:1 角BAC=60° であるとき、三角形ABCの面積を求めよ。 問９ 白石２０１０個、黒石２０１０個を横一列に並べるとき、以下の条件を満たす並べ方は何通りあるか。 条件：列の中の白石１個と黒石１個の組であって、白石が黒石より右にあるようなものが奇数組ある。 問10 自然数nに対し、nの各桁の和をS(n)で表わす。S(n)=5のとき、S(n^5)として最大の値を求めよ。 問11 四角形ABCDは∠DAB=110°，∠ABC=50°，∠BCD=70°を満たす。 AB,CDの中点をそれぞれM,Nとし、線分MN上にAM:CN=MP:NPとなる点PをとるとAP=CPとなった。 このとき、∠APCを求めよ。 問12 2010個の空港がある。 各空港からは他の空港への直行便がいくつか開設されており、 以下の条件（１）（２）を満たしている。 (１) どの空港Ａ，Ｂについても、Ａから出発しいくつかの直行便を乗り継いでＢに行くことが出来る。 (２) 開設されているどの直行便についても、それを閉鎖することで条件（１）を満たさなくなる。 ある日、開設されていた直行便の１つが閉鎖された。新たな直行便（閉鎖された便と同じものでもよい） を１つ開設することで再び条件（１）（２）をみたすようにするとき、開設の仕方は最大何通り考えられるか。 ただし、空港Ｘから空港Ｙの直行便があるときに、空港Ｙから空港Ｘへの直行便があるとは限らない。 |
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ひゃっふー
1月15日（金） 20:24:56
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