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著作権的にどうかと思うけど…
２０１０年ジュニア数学オリンピック予選 １２問 ３時間 （問題の表現は大幅に変更） １．２桁の正の整数がある。これを７倍すると３桁になった。 さらに７倍しても３桁だった。最初の整数として考えられるのはいくつか。 ２．（１，２，３，４），（１，２，…６），（１，２，…８） 各カッコ内から１つずつ数字を選ぶとき、それらの和が７の倍数になるような選び方は何通りあるか。 ３．１辺が３の正方形ABCDがある。 ABを２：１に内分する点をP、CDを１：２，２：１に内分する点をQ,R、DADを１：２，２：１に内分する点をS,Tとする。 PRとQTの交点をUとし、SUの延長とBCの交点をVとする。BVを求めよ。 ４．３桁の正の整数m，nがあり、mとnはちょうど１つの桁の数字が異なる。 またnはmの倍数である。このような組（m,n)は何通りあるか。 ５．１００以下の正の整数組（m,n)でm＜√２＊n＜２mも満たすものが２９５８組ある。 １００以下の正の整数組（m,n)で√２＊n＜mを満たすものは何組あるか。 ６．各皿に置かれている重りの重さの総和が大きいほうが下がり、等しければ釣り合う天秤（つまり、普通の天秤）がある。 左の皿に重さ２２，２４，２６，２８の分銅が、右の皿に２３，２５，２７，２９の分銅が乗せられている。 各時点で下がっている方の皿から１つの分銅を取り除く、ということを天秤が釣り合うまで行う。 全ての分銅が取り除かれるような取り除き方は何通りあるか。 ７．一辺１の正七角形ABCDEFGがある。 P,Q,R,Sをそれぞれ線分AB,BC,CD,EF上に、BP=CQ=DR=FS=1/3を満たすようにとる。 線分PRと線分QSの交点をTとするとき∠PTSの大きさを求めよ。 ８．４行３列のます目（Aと呼ぶ）に下のように１〜１２の数が書かれている。 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 次に３行４列のます目（Bと呼ぶ）に以下の条件を満たすように１〜１２の数を書く。 ・Bのある行にnとmが書かれていたら、Aでもnとmは同じ行に書かれている。 ・Bのある列にnとmが書かれていたら、Aでもnとmは同じ列に書かれている。 同じ数字を２回以上使ってもよく、使わない数があってもよい。 このようなBの数字の書き方は何通りあるか。 （意味が通じなかったらすいません） ９．正の整数nに対し、nの各桁の和をS(n)で表す。S(n)＝２７を満たすような９９９以下の正の整数nの個数を求めよ。 １０．３０人の生徒が全３問の試験を受けた。各問題に正解するとそれぞれ１点、２点、４点が与えられ、正解でない場合は０点である。 試験の結果、どの問題に対しても正解者が１０人であったとき、受験者３０人の得点３０個の組として考えられるものは何通りあるか。 ただし、順番を替えただけのものは同じとみなす。 １１．２０１０以下の正の整数組（a,b,c)でa+b+cがa,b,cすべての倍数になっているようなものは何通りあるか。 ただし、３数の並び順が異なるものは区別する。 １２．．∠BAC=60度を満たす△ABCがある。 ∠ABC,∠ACBの二等分線が辺AC,ABと交わる点をそれぞれP,Qとする。 △ABCの内接円の半径をr1,△APQの内接円の半径をr2とするとき、△APQの外接円の半径をr1,r2で表せ。 |
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1月15日（金） 17:25:09
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