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#35553と同じです。最初、初等幾何で解けなかったので微分でやりました。
幾何でやるときも微分の考え方が元になっているようです。下記のように考えました。 Pが円弧ACの中点にくるまでは、PQとQRの長さはともに増加し、PRの長さは増加するので、その後を考えれば充分です。ACとABの中点をそれぞれD,Eとします。さて、ある時点でPがACに平行な向きに進んだ距離をΔx,垂直な向きに進だ距離をΔyとすると、RがACに平行な向きに進んだ距離もΔx、垂直な向きに進んだ距離をΔy'とする。ある時点におけるPのABに平行に進んだ距離に対するPQの縮む度合いは、 lim[Δx→+0](Δy)/(Δx)で、これは (Pにおける円弧ACの接線の傾き)*(-1) に等しい（ただし、ｘ座標軸をABと平行にとりBの側を正の向きにとっている。）。同様に、同じ時点でのQRの伸びる度合いは、lim[Δx→+0](Δy')/(Δx)で、これは (Rにおける円弧ABの接線の傾き)*(-1)に等しい。 初めのうちは、(PQの縮む度合い)<(QRの伸びる度合い)であるが途中で (PQの縮む度合い)=(QRの伸びる度合い)…(*) となりその後 (PQの縮む度合い)>(QRの伸びる度合い) となる。よって、PRが最大になるのは、(*)のときでこのとき (Pにおける円弧ACの接線の傾き)=(Rにおける円弧ABの接線の傾き)となり、 △PDQ∽△REC 相似比はPD:RE=1:4 ∴DQ=DE*(1/5)=3/5 ∴PQ=4/5(いわゆる3:4:5) |
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1月7日（木） 9:42:02
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