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doba |
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#35268
平面に押しつける、というよりは、ステレオ投影の考え方を使えば、たとえば#35267の左側の２つの図の間を連続して変化するような無限の解が存在することがわかります。他の４個の円と接する場合については、正八面体で考えることもできるのかもしれませんが、立方体で考える方が自然でしょう。（正八面体と立方体は双対の関係にあるので。） ある立方体の、すべての辺の中点を通る球面を考えます。立方体の各面に、その正方形に内接する円を描くと、それらの円はいずれも球面上の円になります。その結果、球面上に６個の円が、「ある円が他の４個の円と接する」状態に配置されることになります。 その６つの円の描かれた球面を、ある平面に接するように適当な向きに置き、球面上の平面から一番遠い点に光源を想定して平面に投影すると、球面上の円のステレオ投影による像も円となるので、求める解が得られます。 「ある円が他の５個の円と接する」場合については、正十二面体で同じことをやればいいですね。 ちなみに、球面をはさんで平行な２つの平面α，βを、いずれも球面と接するように配置して、αから球面にステレオ投影の逆変換で投影し、球面からβにステレオ投影すると、αからβへの写像は反転と同じことになります。（反転円の半径は、球面の半径の倍です。） おそらく、正十二面体からステレオ投影で得られる、元の問題の解の集合は、みなさんの想定解から適当な反転を行うことで得られる解の集合と一致すると思われます ステレオ投影について http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%AC%E3%82%AA%E6%8A%95%E5%BD%B1 |
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10月30日（金） 15:06:21
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