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doba |
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皆さんが、一意性と言った時にどういう内容をイメージされているかはよくわかりませんが、想定解の図形と相似のものしかないという意味であれば、お気づきの方も多いと思いますが、「反転」を考えればそうではないことは明らかですね。
反転とは、反転の中心をOとしたとき、O以外の任意の点Pを、半直線OP上にあって、OP・OP'が一定値になるような点に移す写像です。（通常は、Oを中心とした半径rの円を考えて、OP・OP'＝r^2となるようにします。すると、この円内は円外に、円外は円内に移ります。） この写像には、全ての円または直線を、円または直線に移す、という際だった特徴があります。（特に、Oを通らない円は、必ずOを通らない円に移ります。）また、互いに接する（Oを通らない）２円はやはり互いに接する２円に移るので、想定解の図形を、いろんな点を中心とした反転で移すと、円同士の接し方は変わらない様々な図ができあがります。 特に、反転の中心として、大外の円の内側で、なおかつそれ以外の円の外側であるような点を選ぶと、全ての円が互いに外接するような解を作ることもできます。 また、72°回転すれば重なるような対称性を持つような解に限るとしても、今回の問題では互いに接しない円同士が互いに交わることについては特に禁止されていないことを踏まえると、他にも解は存在します。 皆さんが想定しているのは、正五角形の各頂点を中心とし、半径が正五角形の１辺の半分であるような５つの円の組を大小２組（小さい方をＡ群、大きい方をＢ群とします）と、それとは別に２つの円（Ｘ、Ｙとします）を用意し、Ａ群の外側にＢ群を互い違いに接するように置いて、さらにＡ群の内側に５円に接するようにＸを、Ｂ群の外側に５円に接するようにＹを配したような図だと思いますが、円同士の交わりを容認するならば、例えばＸをＡ群の内側ではなく外側に配することも可能です。（この場合、ＸはＢ群の５円とは交わりますが接するわけではありません。） 同様に、ＹをＢ群の内側に配することもできます。 さらに、Ａ群・Ｂ群自体も、隣り合うものと接するのではなく、一つ離れた物と接するようにすることができます。（正五角形ではなく、星形の頂点に中心を配し、星形の１辺の半分を半径とする円を５個組み合わせればＯＫ） Ａ群・Ｂ群として、どちらの形の５円の組み方を使うか、および、Ｘ、Ｙを内側・外側のどちらに配するかで、対称な配置だけでも16通りのバリエーションが存在します。（ただし、そのうち円同士が交わらないのは１通りだけです。） 残る問題は、全ての解が、反転だけを繰り返すことで、この16通りの解のいずれかに帰結するかどうか（実際は、反転で内外を入れ替えられるので、16通りのうち反転について独立なのは10通りだけです）という点ですが．．．これ以上は私の手には負えません(^^; |
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10月30日（金） 2:45:53
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