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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，こういう問題は，いろいろと考えるのは楽しいのですが，最小性などはどうするのか，難しいことも多く，苦手です (^^; まぁ，一応，こんな感じで。 いろいろと頭の中でイメージしていて思いついた図は，次のような図です。 まず，正五角形の各頂点を中心として互に接するように円を五つ描きます。 次に，これらの五つの円の並びの内側に五つの円と接する円を一つ描きます。 さらに，五つの円の並びの外側に，隣り合う円の間に接する円を一つずつ描き，それら新しい五つの円も互に接するようにします。 最後に，今描いた五つの円の外側に，それらと内接する円を描きます。 これで最小性以外の条件は満たしています。 そこで，この場合の 12 個で認証したら，うまくいったという，いい加減さでした (^^; さて，その後，数学になりますが，少し考察してみました。正しいかどうかは，よく分かりません。 どうやら，円の大きさは必要に応じて適宜選べばよさそうで，重要なのは，円の相互の位置関係のように思われます。 そこで，グラフ理論の力を借りるのがいいかな，と思い，次のように考えました。 まず，各円の中心を考え，円が接する場合にそれら中心を結んだグラフを考えます。 つまり，円の中心がグラフの頂点，中心を結んだ線分が辺になるグラフです。 すると，各円が接することから，中心同士を結んだ線分上又はその延長上に接点があることになります。 ただし，この問題の場合，先ほどの図のように，同心円のような状況も考えなければならないので， 一番外側にある円の輪郭の外側も考え，それが同心円のような円の場合には，その中心は，無限のかなたにあると考えます。 円になっていない場合には，無限遠の中心を考えません。(実は，ここらが，苦しい．．．) するとこれは，グラフを空間上に持ち上げると，無限遠の点がある場合もズズーッと寄ってきて立体の多面体に等価になります。 (ただし，この多面体の形状は，一般には，複雑になります。) 逆に，多面体の一つの頂点をはずすなどして平面に押し付けた，と考えた方が分かりやすいかもしれません。 このグラフの頂点の数を v，辺の数を e，辺で囲まれた領域，つまり，面，の数を f とします。 すると，立体の場合と等価だということから，オイラーの公式より， v - e + f = 2 がいえます。 さて，一つの円は五つの円と接するのですから，グラフで辺の重複を考えて，2e = 5v がいえます。 また，グラフの面は三角形とは限らないことに注意すると，同様にして，3f <= 2e = 5v がいえます。 これより， 2 = v - e + f <= v - 5v/2 + 5v/3 = v/6 v >= 12 v は，頂点の数，つまり，円の中心の数，だったので，円の個数は 12 個以上，ということになります。 v = 12 に確定するかどうかは，グラフ，つまりは多面体，の面が三角形しかないかどうか，になりますが， これは一般にはいえないのではないのでしょうか。実際，変形立方体， http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89%E5%BD%A2%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%BD%93 など，頂点に辺が 5 本集まり v > 12 となる多面体が存在します。 もっとも，私が条件を見落としている可能性はあり，その条件で縛られるのかもしれません。 また，「実は，ここらが，苦しい．．．」と書いたところの議論が不十分だと思います。 いずれにせよ，同心円を考えるのが最小のようには思うのですが．．． |
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ネコの住む家
10月31日（土） 12:00:53
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