|
uchinyan |
|
はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
「何か変な図形だなぁ。」というのが第一印象。ある意味，それがヒントなのかもしれませんね。 面白い問題なので，いろいろと考えました。まぁ，絶対にどなたかと同じだと思いますが，一応 (^^; (解法1) CD を D の方に延長して P，E から垂線を下ろしその足を H，I とし，さらに，E と P を結び CD の延長との交点を Q とします。 まず明らかに，△PEA，△CPB，△CPH は合同で，∠EPC = 90°です。 そして，∠QPH = ∠EPC - ∠CPH = 90 - ∠CPB = ∠PCB なので，△PQH は △CPB，△PEA と相似で，また明らかに，△EQI とも相似です。 そこで，PQ：PE = PH：PA = PB：PA = 1：4，EQ：PQ = (PE - PQ)：PQ = (4 - 1)：1 = 3：1，EI：PH = EQ：PQ，EI：1 = 3：1，EI = 3 cm， 一方で，QH：PH = PB：BC，QH：1 = 4：1，QH = 1/4 cm，DQ = CH + QH - CD = 1/4 + 4 - 1 = 13/4 cm です。 以上より， 五角形ABCDE = △PEA + △CPB + △CPH + △PQH + △DEQ = △CPB * 3 + △PQH + △DEQ = BC * PB * 1/2 * 3 + PH * QH * 1/2 + DQ * EI * 1/2 = 4 * 1 * 1/2 * 3 + 1 * 1/4 * 1/2 + 13/4 * 3 * 1/2 = 6 + 1/8 + 39/8 = 11 cm^2 になります。 なお，最後の計算は， 五角形ABCDE = □ABCE - △ECD = (AE + BC) * AB * 1/2 - CD * EI * 1/2 = (1 + 4) * (4 + 1) * 1/2 - 1 * 3 * 1/2 = 25/2 - 3/2 = 11 cm^2 の方が簡単かもしれませんね。 (解法2) (解法1)の最後の式を見ていて，「そうか，AB を一辺とする正方形から CD，ED を辺とする平行四辺形を引いて半分すればいいのか。」 と思って，再考してみた解法です。 まず，補助線の設定は，(解法1)と同じにし，さらに，図形全体を EC の中点 M を中心に 180°回転し， それぞれの点の移動先の点を「'」をつけて表すことにします。このとき，E = C'，C = E' です。 すると，(解法1)をベースに考えれば分かると思うので，細かい証明は面倒なので省略しますが， □ABA'B'，□PCP'E，□HDH'D' はすべて正方形で，特に，D' は EP' 上にあり，ED'//DC，ED//D'C，D'H = DH = 3cm，がいえます。 そこで，□EDCD' は平行四辺形で，CD = 1 cm を底辺にすると高さは EH = 3 cm になり， 五角形ABCDE = (□ABA'B' - □EDCD')/2 = (5 * 5 - 1 * 3)/2 = 22/2 = 11 cm^2 になります。 これはきれいで，いかにも算数ですが，私には最初からはとても思いつかないな，と思います。 (解法3) (解法2)を考えているときに，副産物としてできた解法です (^^: 補助線の設定は，(解法1)と同じにします。すると， 五角形ABCDE = □ABCE - △ECD で，□ABCE = 25/2 cm^2 はすぐに分かるので，△ECD を求めればいいです。 まず，△ECP = □ABCE - △PAE - △CPB = 25/2 - 2 * 2 = 17/2 cm^2 です。 さらに，△CQP，△CPH，△PQH は角度の関係から相似で，△CPH と △CPB は合同なので， CH：PH = 4：1，PH：QH = 4：1，CH：PH：QH = 16：4：1，CQ：CH = (16 + 1)：16 = 17：16 CQ = 17/16 * CH = 17/16 * 4 = 17/4 cm △CQP：△CPH = CQ：CH = 17：16，△CQP = 17/16 * △CPH = 17/16 * (4 * 1 * 1/2) = 17/8 cm^2 △ECQ = △ECP - △CQP = 17/2 - 17/8 = 51/8 cm^2 △ECD：△ECQ = CD：CQ = 1：(17/4)，△ECD = 4/17 * △ECQ = 4/17 * 51/8 = 3/2 cm^2 そこで， 五角形ABCDE = □ABCE - △ECD = 25/2 - 3/2 = 11 cm^2 になります。 今回は，掲示板を読むのが楽しみだけど，解法がいろいろあって大変かも (^^; |
|
ネコの住む家
10月1日（木） 13:50:23
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 35128 |