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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
今朝，問題を見て 「まぁ，座標でゴリゴリやればできるけど．．．(しばし，頭の中で立体をいろいろ動かしてみる。)．．．なぁ〜んだ，簡単じゃん！」 というわけで，次の解法になりました。 (解法1) 条件より，立体は △ABM を含む平面に関して対称です。そこで，△QCD は QC = QD の二等辺三角形で QM⊥CD です。 また，△ACD と △BCD は合同なので AM = BM です。 ここで，△ABM を含む平面による断面図を考えると．．． △MAB は MA = MB の二等辺三角形で，MP：PB = 1：2 = 5：10 = QP：PA なので MQ//AB で， MQ：AB = MP：PB，MQ：12 = 1：2，MQ = 6 cm です。 また，M，P から AB に垂線を下ろしそれぞれの足を H，I とすると， HI：IB = MP：PB = 1：2，AH：HB = 1：1 = 3：3，AI：IB = (AH + HI)：IB = (3 + 1)：2 = 4：2 = 2：1 = AP：PQ なので， PI//QB，∠ABQ = ∠AIP = 90°，AQ = AP + PQ = 10 + 5 = 15 cm，AB = 12 cm より，△AQB は 3：4：5 の直角三角形で，QB = 9 cm です。 そこで，MQ//AB だったので，A から MQ に下ろした垂線の長さが QB = 9 cm であることになります。 以上より，△QCD が QM に関して対称だったことより， 三角すいAQCD = 三角すいA-QCD = △QCD * (A から △QCD に下ろした垂線の長さ) * 1/3 = △QCD * (A から QM に下ろした垂線の長さ) * 1/3 = (CD * QM * 1/2) * QB * 1/3 = (12 * 6 * 1/2) * 9 * 1/3 = 108 cm^3 になります。 (解法2) (解法1)の最後の式 (12 * 6 * 1/2) * 9 * 1/3 = (12 * 12) * 1/4 * 9 * 1/3 からすると， 底面が，対角線の長さが 12 cm の正方形で，高さが 9 cm の直方体に埋め込むことができそうです。 実際，AB と CD は，対称性より 90°のねじれの位置にあり，MP：PB = 1：2 = 5：10 = QP：PA より MQ//AB なので， AB を対角線とする正方形，CD を対角線とする正方形を考え，それらを平行に配置して上面及び底面と考え， AC，AD，BC，BD を側面の長方形の対角線とするような直方体を考えることができます。 このとき，Q は，CD を対角線とする正方形 の頂点になります。 また，AQ = 10 + 5 = 15 cm は，この直方体の対角線なので，△AQB は 3：4：5 の直角三角形になり， 直方体の高さ = QB = 9 cm です。 そこで，三角すいAQCD は，この直方体の 1/2 * 1/3 = 1/6 で， (12 * 12 * 1/2 * 9) * 1/6 = 108 cm^3 になります。 個人的には，いきなり(解法2)は少し辛いですが， 立方体や直方体など，よく分かった立体への埋め込みや立体からの切り出しは算数ではよくやる手法なので， 算数に慣れている人は，むしろこの解法の方が自然かもしれませんね。 |
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ネコの住む家
9月18日（金） 18:10:04
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