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#35031 マサルさんへ
2n回後に初めてEに到着する確率をP(2n), Cからスタートして2n回後に初めてEに到着する確率をq(2n)とすると、対称性からGからスタートして2n回後に初めてEに到着する確率もq(2n)です。 このとき、次の漸化式が成り立ちます。 p(2n)=(1/2)*p(2n-2)+(1/2)*q(2n-2)…�� q(2n)=(1/4)*p(2n-2)+(1/2)*q(2n-2)…�� これらから、p(2n+2)-p(2n)+(1/8)*p(2n-2)=0 となります。 ただし、p(2)=0, q(2)=1/4 より p(4)=1/8 この漸化式を解いて p(2n)={(√2)/8}*[{(2+√2)/4}^(n-1)-{(2-√2)/4}^(n-1)] で正しいと思いますが…。 なお、今回第６６２回の問題も上記のような連立漸化式を利用して求めることができます。 Aをスタートして2n回後に初めてEに到着する場合の数をa(2n),Cをスタートして２ｎ回後に初めてEに到着する場合の数をb(2n)とすると、Gからスタートして2n回後に初めてEに到着する場合の数もb(2n)となり、次の漸化式がなりたちます。 a(2n)=2*a(2n-2)+2*b(2n-2), b(2n)=a(2n-2)+2*b(2n-2) ただし、a(2)=0, b(2)=1 これから、a(4)=2, a(6)=8, a(8)=28, a(10)=96 となり、これが今回第６６２回の問題の答えです。 また、一般にa(2n)=(1/√2)*{(2+√2)^(n-1)-(2-√2)^(n-1)} となります。 |
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9月11日（金） 9:38:02
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