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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
最初問題を見て頭の中で馴染む？まで少しかかりましたが，馴染んでしまったら，いろいろな解法を思いつきました。 (解法1) 最初に思いついた解法です。 B から DC，DE に平行な線を引き AE との交点を F，G とします。 すると，□FBDC，□GBDE は平行四辺形なので，△CBF は △BCD と，△BFG は △DCE と，それぞれ合同な二等辺三角形です。 そして，二等辺三角形の対称性より，△BAC，△BFG は B から AE に下ろした垂線に関し対称です。そこで， △BCG = △BAF = △BAC - △BFC = △BAC - △BCD = 11 - 7 = 4 cm^2 △DCE = △BFG = △BAC - △BAF - △BCG = 11 - 4 - 4 = 3 cm^2 一方で，CE//BD より △PCE ∽ △PDB なので，CP：PD = CE：BD = △DCE：△BCD = 3：7 となり， △CPE = △DCE * CP/(CP + PD) = 3 * 3/(3 + 7) = 3 * 3/10 = 9/10 cm^2 になります。 (解法2) B，D から AE に垂線を下ろしその足を H，I とします。 □HBDI は長方形なので HI = BD です。 一方で，二等辺三角形の性質より AH = CH，CI = EI なので，AE = HI * 2 になり，BD：AE = 1：2 です。 そして，AC：BD = △BAC：△BCD = 11：7 なので，CE：BD = (AE - AC)：BD = (7 * 2 - 11)：7 = 3：7 になります。 さらに，CE//BD より △PCE ∽ △PDB なので，CP：PD = CE：BD = 3：7 となり， △BPD = △BCD * PD/(CP + PD) = 7 * 7/(3 + 7) = 7 * 7/10 = 49/10 cm^2 △CPE = △BPD * PC/PD * PC/PD = 49/10 * 3/7 * 3/7 = 9/10 cm^2 になります。 なお，今思いましたが，後半は， △DCE：△BCD = CE：BD = 3：7 より，△CDE = △BCD * 3/7 = 7 * 3/7 = 3 cm^2 △CPE = △DCE * CP/(CP + PD) = 3 * 3/(3 + 7) = 3 * 3/10 = 9/10 cm^2 の方がいいかも。 (解法3) A より ED に平行な線を引き BD の B の方への延長との交点を J とします。 すると，□AJDE は平行四辺形で，AJ = ED = CD，BA = BC， ∠CBD = 180 - ∠BDC * 2 = 180 - ∠DCE * 2 = ∠CDE ∠BAJ = ∠EAJ - ∠BAC = ∠EAJ - ∠BCA = ∠JDE - ∠CBD = ∠BDE - ∠CDE = ∠BDC なので，△BAJ は △BCD と合同な二等辺三角形です。 そこで，AE = JD = BJ + BD = BD * 2，BD：AE = 1：2 となり，後は，(解法2)と同じです。 (解法4) BD に関して △CBD を折り返し，C の移動先を K とします。すると， ∠ABC = 180 - ∠BCA * 2 = 180 - ∠CBD * 2 ∠ABK = ∠ABC + ∠CBD + ∠KBD = (180 - ∠CBD * 2) + ∠CBD + ∠CBD = 180° つまり，A，B，K は同一直線上にあります。また， ∠EDC = 180 - ∠DCE * 2 = 180 - ∠CDB * 2 ∠EDK = ∠EDC + ∠CDB + ∠KDB = (180 - ∠CDB * 2) + ∠CDB + ∠CDB = 180° つまり，E，D，K も同一直線上にあります。 そこで，AE//BD，KB = BA，KD = DE より，AE = BD * 2，BD：AE = 1：2 となり，後は，(解法2)と同じです。 (解法5) B，C より ED に平行な線を引き，それぞれ AE，BD との交点を G，L とします。(この G は，(解法1)の G と同じです。) すると，□GBDE，□CLDE は平行四辺形で，辺や角度の関係から， △ABG は △BCD と，△CLD は △DCE と，それぞれ合同な二等辺三角形です。 ここで，□GBLC も平行四辺形に注意して， △CBL = △BCG = △BAC - △ABG = △BAC - △BCD = 11 - 7 = 4 cm^2 △DCE = △CLD = △BCD - △CBL = 7 - 4 = 3 cm^2 とすれば，後は，(解法1)と同じです。 一方，△ABG が △BCD に合同に注意して， AG = AB = BD = GE より，AE = AG + GE = BD * 2，BD：AE = 1：2 とすれば，後は，(解法2)と同じです。 まだまだありそう (^^; |
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ネコの住む家
9月3日（木） 13:17:44
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