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uchinyan |
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#34955の続き
(2) は，次のようにすれば，微分を使わなくてもできます。 #34954と同じ設定で， a^2 + 2c * cos(x) * a - (r^2 - c^2) = 0 b^2 - 2c * sin(x) * b - (r^2 - c^2) = 0 a > 0，b > 0 なので， cos(x) = - 1/2c * (a - (r^2 - c^2)/a) sin(x) = + 1/2c * (b - (r^2 - c^2)/b) (cos(x))^2 + (sin(x))^2 = 1 より， (1/2c * (a - (r^2 - c^2)/a))^2 + (1/2c * (b - (r^2 - c^2)/b))^2 = 1 a^2 - 2(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2/a^2 + b^2 - 2(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2/b^2 = 4c^2 a^2 + b^2 - 4(r^2 - c^2) + + (r^2 - c^2)^2 * (1/a^2 + 1/b^2) = 4c^2 (a + b)^2 - 2ab - 4(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2 * ((a + b)^2 - 2ab)/(ab)^2 = 4c^2 ここで，a + b = s，ab = t とおくと，a，b が正の実数であることより， (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = s^2 - 4t >= 0 s > 0, t > 0 です。逆に，こうなる s，t が存在すれば a，b は存在します。また， △PQR = ab/2 = t/2 です。そして，先ほどの a，b の式は， s^2 - 2t - 4(r^2 - c^2) + (r^2 - c^2)^2 * (s^2 - 2t)/t^2 = 4c^2 (1 + (r^2 - c^2)^2/t^2) * s^2 = 2t + 4r^2 + 2(r^2 - c^2)^2/t ここで，この式より，t > 0 ならば s > 0 の解を取ることができ，s > 0 は満たされます。 そして，t > 0 の元で， s^2 - 4t >= 0 (1 + (r^2 - c^2)^2/t^2) * s^2 - (1 + (r^2 - c^2)^2/t^2) * 4t >= 0 2t + 4r^2 + 2(r^2 - c^2)^2/t - 4t - 4(r^2 - c^2)^2/t >= 0 2t - 4r^2 + 2(r^2 - c^2)^2/t <= 0 t^2 - 2r^2 * t + (r^2 - c^2)^2 <= 0 r^2 - sqrt(r^4 - (r^2 - c^2)^2) <= t <= r^2 + sqrt(r^4 - (r^2 - c^2)^2) r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2) <= t <= r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2) ここで，r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2) > 0 で，0 < c < r より， (r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2)) * (r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2)) = r^4 - c^2 * (2r^2 - c^2) = r^4 - 2 * c^2 * r^2 + c^4 = (r^2 - c^2)^2 > 0 なので，r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2) > 0 もいえます。そこで，t > 0 は成立しています。 そして， (r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2))/2 <= △PQR = t/2 <= (r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2))/2 がいえます。そこで，r = 7/2，c = 7/2 - 7/(13 + 1) = 3 なので， (49 - 6 * sqrt(62))/8 <= S <= (49 + 6 * sqrt(62))/8 になります。 なお，最大，最小の等号は a = b，つまり RQ = PQ，のときなので，△PQR が二等辺三角形になるときで， ∠RQB = 3π/4，7π/4 となって，#34954と，状況も確かに一致しています。 |
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ネコの住む家
8月20日（木） 14:26:58
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