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uchinyan |
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#34954の続き
(1) は，スモークマンさんと原則同じですが，次のようにすれば初等幾何の範囲でもできます。 今，円の中心を O とし，T を 弧AB 上の点，T' を 弧TA 上の T とは異なる点とします。 すると， T' が A に一致せず，T が B に一致しない場合は，O は，∠QTT' 内の領域にあり，T'Q に関して T と反対側にあるので， ∠QTT' > ∠OTT' = ∠OT'T > ∠QT'T となり，T'Q > TQ になります。 T' が A に一致し，T が B に一致しない場合は，O は，∠QTT' 内の領域にあり，T'Q = AQ 上にあるので， ∠QTT' > ∠OTT' = ∠OT'T = ∠QT'T となり，T'Q > TQ になります。 T' が A に一致せず，T が B に一致する場合は，O は，T'Q に関して T と反対側にあり，TQ = BQ の延長上にあるので， ∠QTT' = ∠OTT' = ∠OT'T > ∠QT'T となり，T'Q > TQ になります。 T' が A に一致し，T が B に一致する場合は，明らかに，T'Q > TQ になります。 結局，常に，T'Q > TQ なので，T が 弧AB 上を B から A に移動するとき，TQ は単調に増加すると分かります。 これより，△PQR = PQ * RQ * 1/2 なので，P，R が 弧AB 上にあるときの PQ，RQ に関して， Q から AB に垂線を立て 弧AB との交点を C とすると， BQ <= RQ <= CQ <= PQ <= AQ がいえます。そこで， CQ * BQ * 1/2 <= △PQR = PQ * RQ * 1/2 <= AQ * CQ * 1/2 AQ = 7 * 13/(13 + 1) = 13/2，BQ = 7 * 1/(13 + 1) = 1/2， OC = OA = OB = 7/2，OQ = OB - BQ = 7/2 - 1/2 = 3，CQ = sqrt(OC^2 - OQ^2) = sqrt((7/2)^2 - 3^2) = sqrt(13)/2 なので， 1/8 * sqrt(13) <= △PQR <= 13/8 * sqrt(13) になります。 |
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ネコの住む家
8月20日（木） 14:02:02
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