|
uchinyan |
|
#34935の
＞(1) 今回の問題で，弧PR = 弧AB/2 の条件はなしとし，それ以外の条件は同じにして， ＞P，R が半円の 弧AB 上にあるとき，△PQR の最大と最小を求めてください。 ＞(2) (1)において，P，R が半円ではなく円全体の円周上にある，とだけ変えた場合の，△PQR の最大と最小を求めてください。 の解法です。ただ，正直言って，あまりうまく解けていないので，皆さん，もしうまい解法があれば教えてください。 まずは，真っ正直に，(1)と(2)が同時に解けるオールマイティの微分でやってみます。 円の中心を O(0,0)，AB を x 軸とし，OA = OB = r，OQ = c，0 < c < r，RQ = a > 0，PQ = b > 0，∠RQB = x，0 <= x < 2π，とします。 すると， R(a * cos(x) + c, a * sin(x)) P(b * cos(x + π/2) + c, b * sin(x + π/2)) = (- b * sin(x) + c, b * cos(x)) です。そこで， (a * cos(x) + c)^2 + (a * sin(x))^2 = OR^2 = r^2 (- b * sin(x) + c)^2 + (b * cos(x))^2 = OP^2 = r^2 つまり， a^2 + 2c * cos(x) * a - (r^2 - c^2) = 0 b^2 - 2c * sin(x) * b - (r^2 - c^2) = 0 a > 0，b > 0 なので， a = - c * cos(x) + sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) b = c * sin(x) + sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) そして，△PQR = S = S(x) とすると， S(x) = ab/2 です。後は，S(x) を微分して調べればいいです。 dS/dx = 1/2 * (da/dx * b + a * db/dx) ここで， da/dx = c * sin(x) - c^2 * cos(x) * sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) = c * sin(x) * (- c * cos(x) + sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)))/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) = a * c * sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) db/dx = c * cos(x) + c^2 * sin(x) * cos(x)/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) = c * cos(x) * (c * sin(x) + sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) = b * c * cos(x)/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) より， dS/dx = 1/2 * ab * c * (sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x)/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))) = Sc * 1/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) * 1/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) * (sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))) = Sc * 1/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) * 1/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) * f(x) 最後は， f(x) = sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) とおきました。 Sc * 1/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) * 1/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) > 0 なので， f(x) の正，負，0 を調べればいいです。一見これは，なかなか難しそうです。しかしよく見ると．．． 0 <= x < π/2 では sin(x) >= 0，cos(x) > 0，f(x) > 0 π/2 <= x < 3π/4 では， sin(x) > 0，cos(x) <= 0，|sin(x)| > |cos(x)| sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) |sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > - cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) > 0 f(x) > 0 3π/4 <= x < π では， sin(x) > 0，cos(x) < 0，|sin(x)| <= |cos(x)|，等号は x = 3π/4 sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) |sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= - cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= 0 f(x) <= 0，等号は x = 3π/4 π <= x < 3π/2 では， sin(x) <= 0，cos(x) < 0，f(x) < 0 3π/2 <= x < 7π/4 では， sin(x) < 0，cos(x) >= 0，|sin(x)| > |cos(x)| sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) |sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) - sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) > cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) < 0 f(x) < 0 7π/4 <= x < 2π では， sin(x) < 0，cos(x) > 0，|sin(x)| <= |cos(x)|，等号は x = 7π/4 sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) |sin(x)| * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= |cos(x)| * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) - sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) <= cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) sin(x) * sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x) * sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) >= 0 f(x) >= 0，等号は x = 7π/4 そこで，0 <= x < 2π で， 0 <= x < 3π/4 では，f(x) > 0，dS/dx > 0，S は単調増加 x = 3π/4 では，f(x) = 0，dS/dx = 0，S は極大かつ最大 3π/4 < x < 7π/4 では，f(x) < 0，dS/dx < 0，S は単調減少 x = 7π/4 では，f(x) = 0，dS/dx = 0，S は極小かつ最小 7π/4 < x < 2π では，f(x) > 0，dS/dx > 0，S は単調増加 になります。以上より， S(x) = ab/2 = 1/2 * (- c * cos(x) + sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2))) * (c * sin(x) + sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2))) に注意して， (1) 0 <= x <= π/2 で考えればいいので，S(x) は単調増加で， S(0) <= S(x) <= S(π/2) 1/2 * (r - c) * sqrt(r^2 - c^2) <= △PQR <= 1/2 * (r + c) * sqrt(r^2 - c^2) r = 7/2，c = 7/2 - 7/(13 + 1) = 3 より， 1/8 * sqrt(13) <= △PQR <= 13/8 * sqrt(13) になります。 (2) S(7π/4) <= S(x) <= S(3π/4) 1/2 * (r^2 - c * sqrt(2r^2 - c^2)) <= △PQR <= 1/2 * (r^2 + c * sqrt(2r^2 - c^2)) r = 7/2，c = 3 より， (49 - 6 * sqrt(62))/8 <= △PQR <= (49 + 6 * sqrt(62))/8 になります。 この解法のポイントは f(x) の評価ですが，真っ正直やろうとすると大変で，式がきれいな形をしていることを利用して何とかできました。 ただ，そうしたことができる裏には，きれいな関係が隠れているわけで，もっと簡単にできそうな気もします。 なお，お気づきかと思いますが，全く同様にして，f(x) の二つ前の式の sin(x)/sqrt(c^2 * (cos(x))^2 + (r^2 - c^2)) + cos(x)/sqrt(c^2 * (sin(x))^2 + (r^2 - c^2)) を直接に評価することも可能です。 |
|
ネコの住む家
8月20日（木） 14:12:28
MAIL:uchi@sco.bekkoame.ne.jp 34954 |