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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
一見したときは「何じゃこれは！」という感じでしたが，考えてみればそれほど難しくはありませんでした。 それだけに，いかにうまく速く解くかセンスを問われそうな問題ですね。 取り敢えず，思いついた解法を三つほど。 まず，前提として， AX：XB = 1：5 = CT：TB より XT//AC で，△BXT ∽ △BAC がいえ， ∠BXT = ∠BAC = 135°，∠ABC = ∠ACB = ∠XBT = ∠XTB = 45/2 = 22.5° に注意しておきます。 (解法1) 三角形の外角の関係を使います。 ∠XPA = ∠BXP - ∠BAP，∠XQA = ∠BXQ - ∠BAQ，∠XRA = ∠BXR - ∠BAR， ∠XSA = ∠BXS - ∠BAS，∠XTA = ∠BXT - ∠BAT なので， 求める角度 = ∠XPA + ∠XQA + ∠XRA + ∠XSA + ∠XTA = (∠BXP + ∠BXQ + ∠BXR + ∠BXS + ∠BXT) - (∠BAP + ∠BAQ + ∠BAR + ∠BAS + ∠BAT) ここで，対称性より， ∠BAP = ∠CAT，∠BAQ = ∠CAS，∠BAR = ∠CAR = ∠BAC/2 = 67.5°，∠BAP + ∠BAT = ∠BAQ + ∠BAS = ∠BAC = 135° ∠BXP = ∠TXS，∠BXQ = ∠TXR，∠BXP + ∠BXS = ∠BXQ + ∠BXR = ∠BXT = 135° なので， 求める角度= (135 + 135 + 135) - (135 + 135 + 67.5) = 135 - 67.5 = 67.5° (解法2) BC 上に注目します。 ∠XPA = 180 - ∠XPB - ∠APC，∠XQA = 180 - ∠XQB - ∠AQC，∠XRA = 180 - ∠XRB - ∠ARC， ∠XSA = 180 - ∠XSB - ∠ASP，∠XTA = 180 - ∠XTB - ∠ATC なので， 求める角度 = ∠XPA + ∠XQA + ∠XRA + ∠XSA + ∠XTA = 180 * 5 - (∠APC + ∠AQC + ∠ARC + ∠ASC + ∠ATC + ∠XPB + ∠XQB + ∠XRB + ∠XSB + ∠XTB) ここで，対称性より， ∠APC = ∠ATB，∠AQC = ∠ASB，∠ARC = ∠ARB = 90°，∠APC + ∠ATC = ∠AQC + ∠ASC = 180° ∠XPB = ∠XST，∠XQB = ∠XRT，∠XPB + ∠XSB = ∠XQB + ∠XRB = ∠XTB = 180°，∠XTB = 22.5° なので， 求める角度= 180 * 5 - (180 + 180 + 90) - (180 + 180 + 22.5) = 90 - 22.5 = 67.5° (解法3) バラバラの角度を一つの頂点 A に集めてみます。 A から XP，XQ，XR，XS に平行な線を引き BC との交点を D，E，F，G とします。 すると，∠XPA = ∠PAD，∠XQA = ∠QAE，∠XRA = ∠RAF，∠XSA = ∠SAG，∠XTA = ∠TAC なので， 求める角度 = ∠XPA + ∠XQA + ∠XRA + ∠XSA + ∠XTA = ∠PAD * ∠QAE + ∠RAF + ∠SAG + ∠TAC ここで， BX：XA = BP：PD = BQ：QE = BR：RF = BS：SG = 5：1 より，D，E，F，G は BC を五等分する点になります。 そこで，対称性より，∠BAP = ∠TAC，∠PAD = ∠GAT，∠DAQ = ∠SAG，∠QAE = ∠FAS，∠EAR = ∠RAF がいえ， これらを全部足すと ∠BAC になるので， 求める角度 = ∠BAC/2 = 135/2 = 67.5° |
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ネコの住む家
7月30日（木） 12:16:19
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