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uchinyan |
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(少し追加修正しました。)
掲示板を読みました。皆さん工夫されていて面白い解法がたくさんです。 #34757 □APQR が等脚台形で PQ//AR から，等脚台形の高さ，AB を辺とする長方形が描けることを使う解法。 この図だけでは詳細はいろいろ考えられそうでよく分からないのですが， 左右の白い部分の三角形が直角二等辺三角形になることを何らかの方法で示し，例えば，Q は半円の弧の真ん中など， 等脚台形の高さが 6 cm ということから， AB = 6 * 2 + 2 = 14 cm^2，□PARQ = 6 * 14 - 6 * 6 * 1/2 * 2 = 48 cm^2 □APRB = 48 - 6 + 14 * 2 * 1/2 = 56 cm^2 などと，するのでしょうか。 #34758 円の中心を O，RB の中点を S とし，PQ//AR//OS を使って比の関係から求める解法。 45°を明示的には使っておらず，なるほど，という感じがして，新鮮でした。 #34759，#34770 □APQR が等脚台形で ∠PAR = ∠QRA = 45°，∠ARB = 90°を使って求める解法。 実質，#34757と同じだと思います。 #34761，#34762 数学による解法。 #34763，#34764，#34766(一部数学ですが)，#34771，#34773の(解法1) R から PQ の延長に垂線を下ろし，そこにできる三角形が，直角二等辺三角形，3：4：5 の直角三角形，などを使う解法。 ただ，後半の面積の求め方にはバリエーションがあるようです。 #34765 □PQRB が ∠QPB = 45°の等脚台形であることを使う解法。 ただ，詳細はもうひとつ分からないです。 ＞ＱＲ：ＰＢ＝３：４ これは，PQ，BR を伸ばした交点を C とすると，△CQR が直角二等辺三角形になることから， RC = △PQR の PQ を底辺としたときの高さ = 6 cm で，QR：PB = CQ：CP = 6：(6 + 2) = 6：8 = 3：4，かな。 ＞よって△ＢＰＲ＝８cm^2、△ＢＰＡ＝４８cm^2 合計５６cm^2 前者は明らか。後者は，△PCR ∽ △BPA で面積比が 1：2 から，でいいのでしょうか。 その後，解説が追加されました。私の解釈は異なっていたようです。 #34782，#34783をご覧ください。 #34768 前半の設定は#34763などと同じ。しかし，後半が，少なくとも私にとっては，複雑です (^^; ＞四角形ＰＱＲＳを点Ｏを中心に９０度ずつ回転させてくっつけると正方形が PQRS って四角形ではないし．．． 多分，□PORS の間違いで，O の回りに 90°ずつ回転させて四つで正方形を作るのでしょう。 面積の求め方は，どこか#34757を連想させます。 (その後，やはり，PQRS は PORS の間違いだったようで，修正されています。) #34772 AP と RQ の延長の交点を S とし，△SPQ が直角二等辺三角形で面積が 1 cm^2 から，PQ：AR = 1：7 を出し， AR = 14 cm などを求めていく解法。 若干，#34765と似たところもありますが，こちらの方が私には分かりやすいです。 #34773の(解法2) A から QP の延長に垂線を下ろし，そこにできる三角形が，直角二等辺三角形，3：4：5 の直角三角形，などを使う解法。 #34763などに類似した解法だと思います。 #34780 与えられた図形を 180°回転したものを下に付けて円にすると， 正方形の四隅から，底辺 2 �僉す發� 1 �僂猟廠册鹽�辺三角形を切り取った図形になることを利用する解法。 この後は，例えば，#34772と#34758の考え方を流用すれば，正方形の対角線の半分が 8 cm と分かり， (8 * 8 * 1/2 * 4 - (6 + 1 + 1) * 2)/2 = 56 cm^2 と出せますね。 #34781 PQ と BR とを延長し，そこにできる三角形が，直角二等辺三角形，3：4：5 の直角三角形，などを使う解法。 #34763など，#34773の(解法2)に類似した解法だと思います。 #34784 円の中心を O とし O に関して P に対称な点を P' とすると，求める面積が △PRP' + 6 になることを使う解法。 設定は大分違いますが，#34763など，#34773の(解法2)に類似した解法だと思います。 こうしてみてくると，解法は，3：4：5 を使うかどうかで大きく二つに分かれるようです。 3：4：5 は，2 cm，6 cm^2 の数字に依存しているので，これが変わると，少なくとも算数で解くのは難しくなりそうです。 その意味では，3：4：5 を使わない解法の方が優れているように思います。 また，45°，直角二等辺三角形などを明示的に使うかどうかですが， これは，弧AP = 弧QR，弧PQ = 弧RB から直接にいえるので，使う使わないは，論理的には等価だと思います。 多分，#34759辺りが標準的な算数解法のように思います。 ただ，そうした中で，45°を明示的には使っていない#34758は，新鮮に感じました。 |
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ネコの住む家
7月14日（火） 10:49:39
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