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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜む，個人的には少し難しかった。久しぶりに平面幾何を楽しめた気がします。こんな感じで解きました。 (解法1) 円の中心を O とします。 弧AP = 弧QR，弧PQ = 弧RB より，△OAP ≡ △OQR，△OPQ ≡ △ORB です。 そこで，□APRB = △OAP + △OPR + △ORB，△PQR = △OPQ + △OQR - △OPR = △OAP + △ORB - △OPR より， □APRB = △OPR * 2 + △PQR = △OPR * 2 + 6 になります。 ここで，R より PQ の Q の方の延長上に垂線を下ろしその足を H とします。 弧PR = 弧PQ + 弧QR = 弧AP + 弧RB なので，弧PR は半円の 弧APQRB の半分です。 そこで，∠POR = 180/2 = 90°で，△OPR は直角二等辺三角形です。 □PQRO において，∠PQR = ∠OQP + ∠OQR = ∠OPQ + ∠ORQ = (360 - ∠POR)/2 = (360 - 90)/2 = 270/2 = 135°です。 そこで，∠RQH = 180 - ∠PQR = 180 - 135 = 45°になり，△HQR は QH = RH の直角二等辺三角形です。 △PQR = 6 = PQ * RH * 1/2 = 2 * RH * 1/2 より RH = 6 cm なので，QH = RH = 6 cm，PH = PQ + QH = 2 + 6 = 8 cm です。 これより，△RHP は 3：4：5 の直角三角形で，PR = 10 cm になります。 そこで，△OPR = PR * PR/2 * 1/2 = 10 * 10/2 * 1/2 = 25 cm^2 になり， □APRB = △OPR * 2 + 6 = 25 * 2 + 6 = 50 + 6 = 56 cm^2 になります。 (解法2) 似たり寄ったりですが，一応。 円の中心を O とします。 弧AP = 弧QR，弧PQ = 弧RB より，□PARQ，□QPBR は等脚台形で，PQ//AR，QR//PB で，△APQ = △PQR = △QRB = 6 cm^2 です。 そこで，□APRB = 五角形APQRB - △PQR = 五角形APQRB - △APQ = □AQRB = △AQB + △QRB = △AQB + 6 になります。 そして，弧AQ = 弧AP + 弧PQ = 弧QR + 弧RB = 弧QB なので，Q は半円の 弧APQRB の真ん中で， ∠QOA = ∠QOB = 90°，△QAB は QA = QB の直角二等辺三角形，になります。 ここで，A から QP の P の方の延長上に垂線を下ろしその足を I とします。 □APQO において，∠APQ = ∠OPA + ∠OPQ = ∠OAP + ∠OQP = (360 - ∠QOA)/2 = (360 - 90)/2 = 270/2 = 135°です。 そこで，∠API = 180 - ∠APQ = 180 - 135 = 45°になり，△IAP は IA = IP の直角二等辺三角形です。 △APQ = 6 = PG * AI * 1/2 = 2 * AI * 1/2 より AI = 6 cm なので，PI = AI = 6 cm，QI = PQ + PI = 2 + 6 = 8 cm です。 これより，△AIQ は 3：4：5 の直角三角形で，AQ = 10 cm になります。 そこで，△AQB = AQ * AQ * 1/2 = 10 * 10 * 1/2 = 50 cm^2 になり， □APRB = △AQB + 6 = 50 + 6 = 56 cm^2 になります。 |
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ネコの住む家
7月9日（木） 12:33:31
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