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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
少し直感的にやったらできてしまって，その後，もう少し真面目に考えました (^^; 両方を示しておきます。 まず，前提として，正10角形の一つの外角は 360/10 = 36°，一つの内角は 180 - 36 = 144°，です。 (解法1) 少し直感的な解法 正10角形の外接円を考え，その中心を O とします。また，FP の延長と外接円との交点を R とします。 AF はこの外接円の直径なので，対称性より，∠PAF = ∠BAJ/2 = 144/2 = 72°です。 ここでもし，∠AQP = 18°ならば，∠APQ = 180 - ∠PAQ - ∠AQP = 180 - 144 - 18 = 18°，AP = AQ になり， △FPQ は AF について対称で，∠PFA = ∠PFQ/2 = 18/2 = 9°，∠BPF = ∠PAF + ∠PFA = 72 + 9 = 81°です。 しかし，実際には，∠AQP = 17°で PQ が 1 °だけ傾いているので，O の回りに 1°だけ，図中で右下に，傾ける必要があります。 すると，∠AOR が 1°だけ減り，∠PFA がその半分 1/2 = 0.5°だけ減ります。 しかし，∠PAF は変わらないので，∠BPF は 0.5°だけ減ることになり，81 - 0.5 = 80.5°になります。 最初，回転の中心を F と勘違いして，81 - 1 = 80°としたのは，内緒．．．(^^; (解法2) A と F，B と F，J と F をそれぞれ結びます。 AF は正10角形の外接円の直径なので，∠FBA = ∠FJA = 90°です。 また，∠PAF = ∠QAF = ∠BAJ/2 = 144/2 = 72°で，∠BFA = ∠JFA = 180 - 90 - 72 = 18°です。 ここで，△FJQ を F を中心に反時計回りに回転し，FJ が FB に重なるようにし，Q の移動先を Q' とします。 このとき，対称性より FJ = FB なので J は B に一致し，∠FBP + ∠FBQ' = ∠FBP + ∠FJQ = 90 + 90 = 180°なので，B は PQ' 上にあり， 回転してくっつけた図形は，△FPQ' になります。 そして，FQ' = FQ，∠PFQ' = ∠PFB + ∠QFJ = ∠BFA + ∠JFA - ∠PFQ = 18 + 18 - 18 = 18°= ∠PFQ なので，△FPQ' ≡ △FPQ です。 そこで，∠Q'PF = ∠QPF，つまり，∠BPF = ∠QPF です。 これより， ∠BPF = (∠PAQ + ∠AQP)/2 = (144 + 17)/2 = 161/2 = 80.5° になります。 |
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ネコの住む家
6月25日（木） 12:32:08
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