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uchinyan |
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#34517
＞１辺の長さが2aの正四面体ABCDと、その頂点の１つAを中心とする半径aの球が重なる部分の体積は、 ＞どのように考えれば上手く求められるものでしょうか。 この問題ですが，以前にこの掲示板で，類題，というか，今回の問題を部分に含む問題，を議論したことがあります。 答えは，cos(cπ) = 1/3 として，体積 V = (3c - 1)π/3 * a^3 だと思います。 ここで，cπ は，正四面体の二つの面のなす角度を弧度法で測ったものです。 考え方ですが．．． 一応，積分でできます。ただ，ナイーブにやると，確かに，#34519のように ＞Aから下ろした垂線に垂直な平面による断面積での積分も試みましたが、 ＞円の外側に正三角形が少しはみ出す場合の積分計算で挫折しました。 となり，大変です。 うまい方法があるのかもしれませんが，以前に計算したときは，三次元の極座標を用い，多重積分で計算しました。 しかし，次のように考えれば，積分は不要です。 求める立体は，A を中心とする球を，平面ABC，平面ACD，平面ADB で切ったものです。 球の中心を通る平面で球を切ると円になりますが，これを大円といいます。 そこで，求める立体は，球を，B, C を通る大円，C, D を通る大円，D, B を通る大円，で切ったもの，といえます。 ここで，こうしてできた球上の 弧BC，弧CD，弧DB で囲まれた領域，これを 球面三角形BCD ということがあります， の面積を S とすれば，球全体の表面積は 4πa^2 なので，体積 V は， V = 4πa^3/3 * S/4πa^2 = π/3 * S/πa^2 * a^3 になります。そこで，S を求めればいいです。 まず，B, C を通る大円と B, D を通る大円により切り取られる球の表面の領域の面積を考えます。 B, C を通る大円と B, D を通る大円のなす角度を弧度法で θ1 とすると，B の回り一周は 2π なので， この面積は，4πa^2 * θ1/2π = 2 * θ1 * a^2 です。 これに，C, D を通る大円を加えると，球の表面は 8 個の領域に分かれますが，これらは球の中心に関して対称なので， C, D を通る大円と C, B を通る大円のなす角度を弧度法で θ2，D, B を通る大円と D, C を通る大円のなす角度を弧度法で θ3 として， 2 * θ1 * a^2 + 2 * θ2 * a^2 + 2 * θ3 * a^2 - S * 2 = 4πa^2 * 1/2 がいえます。これより， S = (θ1 + θ2 + θ3 - π) * a^2 となります。(実はこの式は，球面上の幾何学でよく知られた公式です。) 今回の問題では， θ1 = θ2 = θ3 = cπ ただし，cπ は，正四面体の二つの面のなす角度を弧度法で測ったもので，cos(cπ) = 1/3 です。そこで， S = (3c - 1)πa^2 V = π/3 * (3c - 1)πa^2/πa^2 * a^3 = (3c - 1)π/3 * a^3 になります。 ちなみに，立方体の場合は， θ1 = θ2 = θ3 = π/2 S = πa^2/2 V = πa^3/6 ですね。 |
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ネコの住む家
5月25日（月） 15:30:25
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