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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
皆さんはGWをどうお過ごしでしょうか。私自身は普段とあまり変わらないのですが，回りがバタバタしており， その関係もあって，問題を見るのが遅くなりました。 一見して，面白い問題だと思いました。こんな感じで解きました。 図で描けば簡単なのですが，書き出すと長くなってしまい恐縮です。 CA の A の方の延長，CB の B の方の延長，AB で囲まれる領域をア， CB の B の方の延長，AB の B の方の延長 で囲まれる領域をイ， AB の B の方の延長，AC の C の方の延長，BC で囲まれる領域をウ， AC の C の方の延長，BC の C の方の延長 で囲まれる領域をエ， BC の C の方の延長，BA の A の方の延長，CA で囲まれる領域をオ， BA の A の方の延長，CA の A の方の延長 で囲まれる領域をカ， △ABC の内部をキ， とします。 P がア及びその境界にある場合は， △PAB + △PBC + △PAC = △PAB * 2 + △ABC < △ABC * 2 △PAB < △ABC * 1/2 なので，AB を底辺と見ると，△PAB の高さ < △ABC の高さ * 1/2 になり， P は，AB に平行で AB との距離が AB を底辺と見たときの △ABC の高さ の半分の直線上よりも AB 側にあります。 この直線と，CA の A の方の延長，CB の B の方の延長 との交点を E，F とすると， CA：AE = CB：BF = 2：1，CA：CE = CB：CF = 2：3 になります。 これは，P が，ウ，オ及びそれらの境界にある場合も同様で， P がウ及びその境界にある場合は， P は，BC に平行で BC との距離が BC を底辺と見たときの △ABC の高さ の半分の直線上よりも BC 側にあり， この直線と，AB の B の方の延長，AC の C の方の延長 との交点を G，H とすると， AB：BG = AC：CH = 2：1，AB：AG = AC：AH = 2：3 に， P がオ及びその境界にある場合は， P は，CA に平行で CA との距離が CA を底辺と見たときの △ABC の高さ の半分の直線上よりも CA 側にあり， この直線と，BC の C の方の延長，BA の A の方の延長 との交点を I，J とすると， BC：CI = BA：AJ = 2：1，BC：BI = BA：BJ = 2：3 に， なります。 次に，P がカ及びその境界にある場合は， △PAB + △PBC + △PAC = △PBC * 2 - △ABC < △ABC * 2 △PBC < △ABC * 3/2 なので，BC を底辺と見ると，△PBC の高さ < △ABC の高さ * 3/2 になり， CA：AE = 2：1 = BA：AJ なので EJ//BC で，P は，EJ より A 側にあります。 これは，P が，イ，エ及びそれらの境界にある場合も同様で， P がイ及びその境界にある場合は， CB：BF = 2：1 = AB：BG なので FG//CA で，P は，FG より B 側に， P がエ及びその境界にある場合は， AC：CH = 2：1 = BC：CI なので HI//AB で，P は，HI より C 側に， あります。 また，P がキ，△ABC の内部，及びその境界にある場合には， △PAB + △PBC + △PAC = △ABC < △ABC * 2 で，明らかに題意を満たします。 そこで，結局，P の存在範囲は，対辺が平行な六角形EFGHIJ の内部です。 面積は，2：1，2：3 などの比と相似を使って， 六角形EFGHIJ = □AEFB + △BFG + □BGHC + △CHI + □CIJA + △AJE + △ABC △ABC：△CEF = 4：9，△ABC：□AEFB = 4：5，△BFG：△ABC = 1：4， △ABC：△AGH = 4：9，△ABC：□BGHC = 4：5，△CHI：△ABC = 1：4， △ABC：△BIJ = 4：9，△ABC：□CIJA = 4：5，△AJE：△ABC = 1：4 なので， 六角形EFGHIJ：△ABC = (5 + 1 + 5 + 1 + 5 + 1 + 4)：4 = 22：4 = 11：2 そこで，P の動くことのできる範囲の面積は，△ABC の 11/2 倍になります。 |
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ネコの住む家
4月30日（木） 12:10:44
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