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鯨鯢(Keigei) |
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#34393,#34394
スモークマンさんに、私の書き込んだ式の考察がありますのでもう少し… A=(P^p)(Q^q)(R^r) とすると、{(2p+1)(2q+1)(2r+1)+1}/2-(p+1)(q+1)(r+1)=3pqr+qr+rp+pq 個。 ですが、もう１つ素因数を増やして、A=(P^p)(Q^q)(R^r)(S^s) とすると、 {(2p+1)(2q+1)(2r+1)(2s+1)+1}/2-(p+1)(q+1)(r+1)(s+1) =7pqrs+3(qrs+prs+pqs+pqr)+(pq+pr+ps+qr+qs+rs) 個です。 この係数の、7,3,1 ですが、あみーさんの方法で検討すると、 P^a(a=1,…,p), Q^b(b=1,…,q), R^c(c=1,…,r), S^d(d=1,…,s) から、 ２種類の素因数を採用すると、pq+pr+ps+qr+qs+rs 個 ３種類の素因数を採用すると、たとえばP^a,Q^b,R^cを採用すると、 _これを２グループに分けて積をとり、A×(小さい方)/(大きい方) にすればよい。 _３個のものを２グループに分ける方法は、2^(3-1)-1=3 通り。よって、3(qrs+prs+pqs+pqr) 個 ４種類の素因数を採用するときも、 _２グループに分けて積をとり、A×(小さい方)/(大きい方) にすればよい。 _４個のものを２グループに分ける方法は、2^(4-1)-1=7 通り。よって、7pqrs 個 一般に、Ａの素因数がいくつであっても、 _{2^(n-1)-1}(指数ｎ個の積の総和) を n=2,3,… と加えていくことになります。 ただ、素因数が多い場合は、{(2p+1)(2q+1)(2r+1)+1}/2-(p+1)(q+1)(r+1) のような 左辺の式の方が簡単です。 「もう少し…」と書き出しながら、「もう少し」でなかったことをお詫びします。 |
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4月25日（土） 11:09:51
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