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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
119 はすぐに分かったのですが，最大かどうかと，例が私の題意の解釈と合わないので，認証に走りました (^^; さて，解について少し考えてみました。以下，数学になってしまいますが，一応。 a(m,n) = m(m+1)(m+2)...(m+n-5), ただし，m, n は，m >= 1, n >= 5 の整数 とおくと，題意は，a(m,n) = n! を満たす m, n を求めることになります。 まず，明らかに，a(m,n) は m, n について狭義に(等しくなることなく)単調増加します。 そこで，m > 7 ならば，a(m,n) > a(7,n) = 7 * 8 * ... * n * (n+1) * (n+2) もし n >= 26 ならば，(n+1) * (n+2) >= 27 * 28 = 756 > 720 なので， 7 * 8 * ... * n * (n+1) * (n+2) > 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * ... * n つまり，m >= 8 かつ n >= 26 のとき，a(m,n) > n! となり，a(n,m) = n! の解は存在しません。 したがって，解があるとすれば，m <= 7 又は n <= 25 のとき，になります。 まず，m <= 7 の場合，n には制限なし，を調べます。 m <= 5 ならば，m >= 1, m+n-5 <= n より， a(m,n) = m(m+1)(m+2)...(m+n-5) < 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * ... * n なので，解はありません。 m = 6 のときは， a(6,n) = 6 * 7 * ... * n * (n+1) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * ... * n n+1 = 120 n = 119 が解になります。 m = 7 のときは， a(7,n) = 7 * 8 * ... * n * (n+1) * (n+2) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * ... * n (n+1)(n+2) = 720 これは，n = 25 で (n+1)(n+2) = 702，n = 26 で (n+1)(n+2) = 756，となり，解はありません。 そこで，(m,n) = (6,119) が解となります。 もう一つの場合は n <= 25 なので，n の最大は 119 と分かり，今回の問題の答え，最大のアは 119 になります。 次に，n <= 25 の場合，m には制限なし，です。 残念ながら，あまりうまい方法を思いつかなかったので，n >= 5 に注意して， a(m,25) = m(m+1)(m+2)...(m+20) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * ... * 24 * 25 a(m,24) = m(m+1)(m+2)...(m+19) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * ... * 24 ．．． a(m,6) = m(m+1) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720 a(m,5) = m = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 をプログラムで調べたところ，(m,n) = (120,5) しか解はありませんでした。 そこで，結局， 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * ... * 118 * 119 = 6 * 7 * ... * 119 * 120 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 だけが解のようです。 もちろん，前者が，今回の問題の答えです。 なお，m >= 7 かつ n >= 120 のとき，でも，a(m,n) = n! の解が存在しないことがいえますが， また，今回の問題を解くにはそれで十分ですし，分かりやすいとも思いますが， 後の検討を楽にしようと思って，後で調べる n の範囲が小さくなるようにしてみました。 でも，あまり意味がありませんでしたね (^^; |
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ネコの住む家
2月19日（木） 21:00:49
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