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uchinyan |
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(若干，追加修正しました。)
次に，#33629，半減期の問題，に関してです。 この問題を解くには，若干の予備知識が必要です。 なお，今回も現れる対数は自然対数です。 まず，ある物質が崩壊する物質であったとし，各時点で N 個あったとすると， その減少する様子は N に比例することが知られています。 つまり，λ > 0 を比例定数，崩壊定数，壊変定数などといいます，t を時間とすると， dN/dt = - λN です。t = 0 で N = N0 としてこの微分方程式を解くと， 1/N * dN/dt = - λ ∫(1/N * dN/dt)dt = ∫(-λ)dt ∫(1/N)dN = ∫(-λ)dt log|N| = - λ * t + 積分定数 N = 定数 * e^(-λt) N = N0 * e^(-λt) です。ここで，t -> t + T となったとき N -> N/2 となる T を半減期といいます。 N = N0 * e^(-λt) N/2 = N0 * e^(-λ(t + T)) なので， 2 = e^(λT) λ = log2/T，T = log2/λ になります。そこで， N = N0 * e^(- log2/T * t) = N0 * e^(- log2 * t/T) = N0 * (e^log(1/2))^(t/T) log の定義から e^(log2) = 2 なので， N = N0 * (1/2)^(t/T) とも書けます。 さて，以上の準備の下に解いていきましょう。 物質 A，B，C の t 年後の重さを A，B，C とします。単位は kg です。 また，A，B の崩壊定数をλa，λb とし，A，B の半減期を Ta，Tb とします。 ここで，注意というか仮定ですが，先ほどの予備知識では個数でしたが，今回は重さです。 これは明らかに違うものなので，厳密には，その間をつなぐもの，原子 1 個あたりの重さなど， が必要でしょうが，提示された問題では特に言及がないので， 物質の崩壊後もこれは変わらない，A，B，C の原子 1 個あたりの重さはほとんど同じ，と仮定しました。 すると，全体に定数が掛かるだけで，先ほどの崩壊の話が重さにもそのまま成立します。 以下では，この仮定の下に解きます。 まず，A ですが，これは明らかに， dA/dt = - λa * A がいえます。これを t = 0，A = 1 で解くと， A = e^(- λa * t) = (1/2)^(t/Ta) です。 次に，B です。B は，A からの崩壊分 λa * A が増え，C への崩壊分 λb * B が減るので， dB/dt = λa * A - λb * B dB/dt = λa * e^(- λa * t) - λb * B になります。これを，t = 0，B = 0 で解けばいいです。 dB/dt + λb * B = λa * e^(- λa * t) e^(λb * t) * dB/dt + λb * e^(λb * t) * B = λa * e^((λb - λa) * t) d(e^(λb * t) * B)/dt = λa * e^((λb - λa) * t) e^(λb * t) * B = λa/(λb - λa) * e^((λb - λa) * t) + 積分定数 t = 0，B = 0 より， e^(λb * t) * B = λa/(λb - λa) * e^((λb - λa) * t) - λa/(λb - λa) B = λa/(λb - λa) * (e^(- λa * t) - e^(- λb * t)) B = (1/Ta)/(1/Tb - 1/Ta) * ((1/2)^(t/Ta) - (1/2)^(t/Tb)) B = Tb/(Tb - Ta) * ((1/2)^(t/Tb) - (1/2)^(t/Ta)) 最後に，C です。C は B からの崩壊分 λb * B が増えるだけなので， dC/dt = λb * B dC/dt = λaλb/(λb - λa) * (e^(- λa * t) - e^(- λb * t)) になります。これを，t = 0，C = 0 で解けばいいです。 C = λaλb/(λb - λa) * (- 1/λa * (e^(- λa * t) - 1) + 1/λb * (e^(- λb * t) - 1)) C = 1 - λb/(λb - λa) * e^(- λa * t) + λa/(λb - λa) * e^(- λb * t) C = 1 - (1/Tb)/(1/Tb - 1/Ta) * (1/2)^(t/Ta) + (1/Ta)/(1/Tb - 1/Ta) * (1/2)^(t/Tb) C = 1 - Tb/(Tb - Ta) * (1/2)^(t/Tb) + Ta/(Tb - Ta) * (1/2)^(t/Ta) 以上で，A，B，C の一般形が求まりました。 さて，Ta = 100，Tb = 300 なので， A = (1/2)^(t/100) B = 3/2 * (1/2)^(t/300) - 3/2 * (1/2)^(t/100) C = 1 - 3/2 * (1/2)^(t/300) + 1/2 * (1/2)^(t/100) t = 500 を求めると， A = (1/2)^5 B = 3/2 * (1/2)^(5/3) - 3/2 * (1/2)^5 = 3 * (1/2)^(8/3) - 3 * (1/2)^6 C = 1 - 3/2 * (1/2)^(5/3) + 1/2 * (1/2)^5 = 1 - 3 * (1/2)^(8/3) + (1/2)^6 となります。 なお，式の立て方から明らかですが，質量欠損は考慮しなかったので， A + B + C = 1 が成立しています。 これぐらいも，予備知識つきで，大学入試の数学に出てもおかしくはないかなぁ．．． それとも，物理？ 微分方程式が絡むので，物理では，ちょっと無理かな。 |
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ネコの住む家
1月14日（水） 18:34:39
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