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uchinyan |
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(若干，追加修正しました。)
まず，#33626，水位の問題，に関してです。 #33636でハラギャーテイさんが設定しておられる記法で進めます。 つまり，タンクの形状は円柱状で底面積は一定なので，単位面積 1 としても一般性を失いません。 また，満タンの水位を 1 とし，一般の場合を h とします。0 <= h <= 1 です。 このとき，体積 V = 1 * h = h となります。あ，t を時間，単位は時間，にします。 まず，満タンから排水だけする場合です。 排水量は水位の平方根に比例するので比例定数を k > 0 とすると， dV/dt = - k * √h ここマイナスは，体積が減少することを意味しています。V = h より， dh/dt = - k * √h です。与えられた条件から k を求めます。この微分方程式を解くと， 1/√h * dh/dt = - k ∫(1/√h * dh/dt)dt = - ∫kdt ∫(1/√h)dh = - ∫kdt 2 * √h = - kt + 積分定数 t = 0 で V = h = 1 なので，積分定数 = 2 で， 2 * √h = - kt + 2 t = 5 で V = h = 0 なので， 0 = - 5k + 2 k = 2/5 になります。 次に，空タンクから給水だけする場合ですが，給水量は一定なので，8 時間で満タンより，給水量 = 1/8 です。 さて，いよいよ，満タンの半分から給水排水を両方行う場合ですが，これは， dV/dt = - k * √h + 1/8 dh/dt = - 2/5 * √h + 1/8 です。これを，t = 0，h = 1/2 で解いて，時間が十分経ったとき，つまり t -> ∞，の h を求めればいいです。 x = - 2/5 * √h + 1/8 とおくと，t = 0 で x0 = - 2/5 * √(1/2) + 1/8 = 1/8 - √(2)/5 < 0 で， dx/dh = - 1/5 * 1/√h dh/dx = - 5 * √h = 25/2 * (x - 1/8) dh/dx * dx/dt = dh/dt = - 2/5 * √h + 1/8 = x 25/2 * (x - 1/8) * dx/dt = x 25/2 * (1 - 1/8 * 1/x) * dx/dt = 1 ∫{25/2 * (1 - 1/8 * 1/x) * dx/dt}dt = ∫dt 25/2 * ∫(1 - 1/8 * 1/x)dx = ∫dt 25/2 * (x - 1/8 * log|x|) = t + 積分定数 ここで，log は自然対数です。t = 0 で x = x0 なので， 積分定数 = 25/2 * (x0 - 1/8 * log|x0|) つまり， 25/2 * (x - 1/8 * log|x|) = t + 25/2 * (x0 - 1/8 * log|x0|) (x - x0) - log|x/x0|^(1/8) = 2/25 * t log(e^(x-x0) * |x0/x|^(1/8)) = 2/25 * t log(e^x/|x|^(1/8) * |x0|^(1/8)/e^x0) = 2/25 * t e^x/|x|^(1/8) * |x0|^(1/8)/e^x0 = e^(2/25 * t) |x|^(1/8)/e^x = |x0|^(1/8)/e^x0 * e^(- 2/25 * t) 残念ながら，これを x，そして h，について解くのは簡単ではありません。 しかし，時間が十分に経った t -> ∞ の状況を調べるのは可能です。 まず，|x0|^(1/8)/e^x0 は 0 でない定数です。また，e^x は正の実数です。 そこで，t -> ∞ では e^(- 2/25 * t) -> 0 なので，x -> 0 になります。 これは，- 2/5 * √h + 1/8 -> 0，√h -> 5/16，h -> 25/256 を意味します。 そこで，時間が経つと，水位は 25/256 になります。 以上で終わりですが，物理的な考察をすると，ずっと簡単に解けます。 時間が十分に経ったときの水位を求めるのですが，物理的に考えて， 水位がいつまでも変動するとは考えづらく，ある一定の値に安定するのだろうと予想できます。 実際，排水量 2/5 * √h は h が増えれば増え h が減れば減り，給水量は一定なので，バランスする h で安定するでしょう。 その場合，安定する以上，水位の変化率 dh/dt が 0 になるだろう，と考えられます。そしてまさに， dh/dt = - 2/5 * √h + 1/8 だったので， dh/dt = - 2/5 * √h + 1/8 = 0 この右側を解いて，h = 25/256 になります。 先ほどの面倒な計算は，この物理的直感を裏付けていることになります。 ちなみに，こうした直感は物理では，多分工学でも，とても大事です。 ただし，先ほどのような数学的な裏付けも必須ですよ。裏付けなしでは，ただの妄想ですから (^^; なお，これくらいの問題は，大学入試の数学で出題されてもおかしくはなさそうですね。 |
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ネコの住む家
1月14日（水） 18:36:41
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