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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
これ，前により一般的な類題を解いたことがあります。確か，この掲示板でスモークマンさんが友人問として出されたものです。 そこで，簡単に解けました (^^; こんな感じです。 50, 100, 150, 200, ..., 4050, 4100 = 50 * 82 は，50 * ○，○ = 1, 2, ..., 82 と書けます。 そこで，求めるものは，50/83 * ○ の整数部分の和です。ここから数学になりますが．．． これを，y = 50/83 * x としてグラフを考えてみます。 すると，50/83 * ○ の整数部分は，x 座標が○，y 座標が y = 50/83 * x 以下の正の整数の格子点の個数に等しくなります。 そこで，その和は，x = 1 〜 82 の間，ただし両端を含む，の y = 50/83 * x 以下の正の格子点の個数です。 ここで，50 と 83 は互いに素なので，このような格子点は y = 50/83 * x のグラフ上にはありません。 そこで，(1,1), (82,1), (82,49), (1,49) の長方形をとり，この長方形の周及び内部の格子点を考えると， グラフの対称性より，y = 50/83 * x より下の格子点と上の格子点の個数は等しく，グラフ上には無かったので， 求める格子点の個数は，長方形の周及び内部の格子点の個数の半分，と分かります。 そこで，求める和 = 長方形の周及び内部の格子点の個数の半分 = 82 * 49 * 1/2 = 41 * 49 = 2009 になります。 ただし，頭の中で考えるには， ます，長方形として (0,0), (83,0), (83,50), (0,50) をイメージし，次に，y = 50/83 * x をイメージし， 余分なものを除いて考えた方がいいかもしれません。実際，私はそうしました。 そうすると，(83 - 1) * (50 - 1) * 1/2 = 82 * 49 * 1/2 = 2009 ですね。 なお，50 と 83 が互いに素なので，50 * ○ を 83 で割った余りは 1 〜 82 のすべてが 1 回ずつ現れます。 このことを使うと，こんな別解も可能です。 50 * ○ = 83 * △ + □，○ = 1, ..., 82，□ = 1 〜 82 のどれか一つずつ，なので， この式を辺々足すと，△ の和が求める和になることから， 求める和 = {(50 + 100 + 150 + ... + 4050 + 4100) - (1 + 2 + 3 + ... + 81 + 82)}/83 = {50 * (1 + 2 + 3 + ... + 81 + 82) - (1 + 2 + 3 + ... + 81 + 82)}/83 = (50 - 1) * (1 + 2 + 3 + ... + 81 + 82) * 1/83 = 49 * 82 * 83 * 1/2 * 1/83 = 49 * 41 = 2009 ともできますね。 いずれにしても，答えが 2009 とは。 |
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ネコの住む家
12月25日（木） 11:08:51
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