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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
大学などで行列式の一般論を学んだ人は「あ，置換だな。」と思い至り，若干有利かもしれません。 もちろん，場合の数の計算にはこうした知識は全く不要ですが，そこそこ大変ですね。 うまく説明できず，長くなってしまって申し訳ありませんが．．． イス 1, 2, ... とカード a, b, ... の組合せを (1->a,2->b,...) などと書くことにし， 1 番のイスに A 郎，2 番のイスに B 郎，．．．が座っている状態を，例に合わせて，(A,B,...) などと書くことにします。 (置換としては，一郎が A 番のイスに，二郎が B 番のイスに，．．．座っている状態を (A,B,...) などとした方が自然でしょうが。) 例は，(1->2,2->3,3->5,4->1,5->4,6->6)，(1,2,3,4,5,6) -> (4,1,2,5,3,6) -> (5,4,1,3,2,6) -> ... です。 さて，こうした記法でいろいろと調べてみると，6 回席替えをして最初の (1,2,3,4,5,6) に戻っているのは， (1->a,2->b,3->c,4->d,5->e,6->f) が 6 の約数 1, 2, 3, 6 のいずれかの個数の数字で閉じて分割できる場合と分かります。 例えば，(1->1,2->2,3->3,4->4,5->5,6->6) は，1 回で元に戻ります。したがって，当然，6 回で元に戻ります。 (1->1,2->3,3->2,4->5,5->6,6->4) は，(1->1) は 1 回，(2->3,3->2) は 2 回，(4->5,5->6.6->4) は 3 回で，全体は 6 回で元に戻ります。 (1->2,2->3,3->4,4->5,5->6,6->1) は，全体が 6 回で元に戻ります。 一方，(1->2,2->3,3->5,4->1,5->4,6->6) は，1, 2, 3, 4, 5 の部分は 5 回で元に戻り，6 回では元に戻りません。 (置換の計算の経験があると，この規則性にすぐ気が付くでしょう。) そこで，こうした分割のパターンを元に戻る回数を並べて [ ] で括って書くことにします。 (1->1,2->2,3->3,4->4,5->5,6->6) は，[111111]。 (1->1,2->3,3->2,4->5,5->6,6->4) は，[123]。(1, 2, 3 を入れ替えたものは同じパターンとします。) (1->2,2->3,3->4,4->5,5->6,6->1) は，[6]。 (1->2,2->3,3->5,4->1,5->4,6->6) は，[15]。 すると，結局，6 回席替えをして元に戻るのは，次の場合です。 ・[111111]：(1->1,2->2,3->3,4->4,5->5,6->6) だけなので，1 通り。 ・[11112]：2 を選ぶのに 6C2 = 15 通り，2 の中の並べ替えで 1 通りで，15 * 1 = 15 通り。 ・[1113]：3 を選ぶのに 6C3 = 20 通り，3 の中の並べ替えで 2 通りで，20 * 2 = 40 通り。 ・[1122]：2 を選ぶのに 6C2 * 4C2 * 1/2! = 45 通り，2 の中の並べ替えで 1 通りで，45 * 1 * 1 = 45 通り。 ・[123]：2 を選ぶのに 6C2 = 15 通り，3 を選ぶのに 4C3 = 4 通り，2 の中の並べ替えで 1 通り，3 の中の並べ替えで 2 通りで，15 * 4 * 1 * 2 = 120 通り。 ・[222]：2 を選ぶのに 6C2 * 4C2 * 2C2 * 1/3! = 15 通り，2 の中の並べ替えで 1 通りで，15 * 1 * 1 * 1 = 15 通り。 ・[33]：3 を選ぶのに 6C3 * 3C3 * 1/2! = 10 通り，3 の中の並べ替えで 2 通りで，10 * 2 * 2 = 40 通り。 ・[6]：6 を選ぶのに 6C6 = 1 通り，6 の中の並べ替えで 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 1 = 120 通りで，1 * 120 = 120 通り。 ここで，6 の中の並べ替えは，1->a は 5 通り，a->b は 1,a はダメなので 4 通り，b->c は 1,a,b はダメなので 3 通り， c->d は 1,a,b,c はダメなので 2 通り，d->e は 1,a,b,c,d はダメなので 1 通り，e->f は f = 1 しかないので 1 通り，です。 以上ですべてなので，1 + 15 + 40 + 45 + 120 + 15 + 40 + 120 = 396 通り，になります。 なお，全体 6! = 720 通り，から，6 回で最初の状態に戻らない場合を引いた方が計算が楽です。 6 回で最初の状態に戻らないのは次の場合です。 ・[114], [24]：4 を選ぶのに 6C4 = 15 通り，4 の中の並べ替えで 3 * 2 * 1 * 1 = 6 通り，[11] と [2] とを合わせて 2 通りで，15 * 6 * 2 = 180 通り。 ・[15]：5 を選ぶのに 6C5 = 6 通り，5 の中の並べ替えで 4 * 3 * 2 * 1 * 1 = 24 通りで，6 * 24 = 144 通り。 そこで，720 - (180 + 144) = 396 通り，になります。 実は，朝は紙と鉛筆が手元に無く暗算を心がけるしかなく，最初の方法で挫折しかけましたが，全体から引く方法で何とかできました (^^; |
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ネコの住む家
12月18日（木） 14:30:57
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