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uchinyan |
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掲示板を読みました。分かる範囲で．．．
#32976，#32977，#32980，#32986 漸化式っぽくやる解法。 #32981，#32991 プログラムによる解法。 #32982，#32983，#32984，#32987，#32995 場合分けして 3 の倍数を地道に数える解法。 #32988，#32993 3 で割った余りが 0, 1, 2 の個数が同じぐらいと考えて，5^5/3 = 1041 ... 2 から，1041 と類推する解法？ #32994 6 進法の利用？ ただ，6 進法で？ 5 ≡ 2 とかがよく分からない。5 ≡ 2 は 10 進法で mod 3 ではないのかな。 だいたい，6 進法で 11111 を 3 で割った余りは 1 であって 2 ではないのですが．．．？ (2-0-1-2-0)-1-(2-0-1-2-0)-1-・・・もよく分からない。 11111, 11112, 11113, 11114, 11115, 11121, 11122, 11123, 11124, 11125, 11131, 11132, ... だろうから， 2-0-1-2-0 -0-1-2-0-1- 1-2-0-1-2- ... では？ #32992 漸化式？ 類推？ これらのうち漸化式ですが，#32986が詳しいです。 一応，これに従ってちゃんとやっておきましょう。ただし高校数学です。 n 桁の場合，3 で割った余りが k の個数を a(n,k) とすると，#32986流に考えて， a(n,0) = a(n-1,0) + a(n-1,1) * 2 + a(n-1,2) * 2 a(n,1) = a(n-1,0) * 2 + a(n-1,1) + a(n-1,2) * 2 a(n,2) = a(n-1,0) * 2 + a(n-1,1) * 2 + a(n-1,2) a(1,0) = 1, a(1,1) = 2, a(1,2) = 2 です。ここで， a(n,1) - a(n,2) = a(n-1,2) - a(n-1,1) = (-1) * (a(n-1,1) - a(n-1,2)) = ... = (-1)^(n-1) * (a(1,1) - a(1,2)) = (-1)^(n-1) * (2 - 2) = 0 つまり， a(n,1) = a(n,2) また， a(n,0) - a(n,1) = a(n-1,1) - a(n-1,0) = (-1) * (a(n-1,0) - a(n-1,1)) = ... = (-1)^(n-1) * (a(1,0) - a(1,1)) = (-1)^n * (1 - 2) = (-1)^n さらに， a(n,0) + a(n,1) + a(n,2) = 5 * (a(n-1,0) + a(n-1,1) + a(n-1,2)) = ... = 5^(n-1) * (a(1,0) + a(1,1) + a(1,2)) = 5^(n-1) * (1 + 2 + 2) = 5^n これらより，最後の式は， a(n,0) + 2 * (a(n,0) - (-1)^n) = 5^n 3 * a(n,0) = 5^n + 2 * (-1)^n a(n,0) = (5^n + 2 * (-1)^n)/3 これより， a(n,1) = (5^n - (-1)^n)/3 a(n,2) = (5^n - (-1)^n)/3 もいえます。なお，n = 5 とすると， a(5.0) = (5^5 + 2 * (-1)^5)/3 = (3125 - 2)/3 = 3123/3 = 1041 a(5,1) = (5^5 - (-1)^5)/3 = (3125 + 1)/3 = 3126/3 = 1042 a(5,2) = (5^5 - (-1)^5)/3 = (3125 + 1)/3 = 3126/3 = 1042 になりますね。 それと，#32992の ＞n:odd :(5^n)+1÷3-1 ＞n:even:(5^n)-1÷3+1 は，a(n,0) が n:odd :{(5^n)+1}÷3-1 n:even:{(5^n)-1}÷3+1 のことだと思いますが，正しいようですね。 |
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ネコの住む家
10月2日（木） 18:23:32
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