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スモークマン |
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久方ぶりの友人問をば ^^;v
次の条件をみたす2以上の整数nの最小値は15であることを示せ。 1からnまでのn個の整数をうまく1列に並べて、隣り合う2つの数の和がすべて平方数になるようにできる。 最近考えてみたんですが、、、みなさんは次の等式をどのように証明されますか？ 「φ(n) はオイラー関数とするとき、自然数 n, d で d が n を割り切るものとすると、1 から n までの自然数のうち n との最大公約数が 'n / d であるものの数は φ(d) 個である。特に、1 から n までの自然数は n との最大公約数によって類別されるから、d が n の正の約数全てをわたる和に関して等式 Σφ(d) = n ( d|n ) が成り立つ（d | n は d が n を割り切るの意）。」 *1 から n までの自然数のうち n と互いに素なものの個数を φ(n) として与えることによって定まる数論的関数 φ である。例えば、1, 2, 3, 4, 5, 6 のうち 6 と互いに素なのは 1, 5 の 2 個であるから、定義に拠れば φ(6) = 2 である。p を素数とすると、1 から p − 1 のうちに p の素因子である p を因子として含むものは存在しないから φ(p) = p − 1 が成り立ち、同様に p の冪は p の冪でしか割り切れないので k を自然数として φ(p^k) = p^k - p^(k-1) =p^k (1-1/p) が成立することが確かめられる。また、m, n を互いに素な自然数とすると、φ(mn) = φ(m)φ(n) が成り立つ。これをオイラーの関数は（互いに素な数の積に関して）乗法的であると言い表す。これらのことからさらに、任意の自然数 n における値を知ることができる。実際に、pk はどの二つも相異なる素因数であるとして、n の素因数分解が次のように n = Πpk^ek ( k=1〜d ) と与えられているならば、 φ(n) = n Π(1-1/pk) ( k =1〜d ) によって φ(n) を計算することができる。・・・ (http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーのトーティエント関数 より) |
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金光＠岡山
10月19日（金） 18:45:09
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