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uchinyan |
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はい，こんにちは。さて，今回の問題は．．．
う〜ん，実は気付けば「あーあれか」という問題なのですが，ちょっとさえず，少し考え込んでしまいました (^^; こんな感じで。 まず，AC = BC，AP = CQ，∠PAC = 60°= ∠QCB なので，△PCA ≡ △QBC です。そこで，∠PCA = ∠QBC です。 これと，∠BQC = ∠CQR より，△QBC ∽ △QCR です。そこで，∠QRC = ∠QCB = 60°で，∠BRC = 180 - ∠QRC = 120°です。 ここで，∠BRC の二等分線を引き，BC との交点を D とします。 すると，∠BRD = 60°= ∠CRQ，∠RBD = ∠RCQ なので，△RBD ∽ △RCQ で，RB：RC = 2：1 なので，△RBD：△RCQ = 4：1 です。 また，RD は ∠BRC の二等分線だったので，△RBD：△RCD = RB：RC = 2：1 です。 これらより，△RBC：△RCQ = (4+2)：1 = 6：1 = BR：RQ になり，BR：RC：RQ = 6：3：1 です。 また，△QBC ∽ △QCR だったので，BC：CQ = CR：RQ = 3：1 = AC：CQ です。 そこで，△QBC = CQ/AC * △ABC = 1/3 * △ABC，△RBC = BR/BQ * △QBC = 6/(6+1) * △QBC = 6/7 * △QBC なので， △RBC = 6/7 * 1/3 * △ABC = 2/7 * △ABC，つまり，2/7 倍になります。 なお，別解ですが．．． BC 上に BS = AP となる点 S を取って A と S を結べば，中央に正三角形ができるよく見る図になります。 (AP：PB = 1：2 が与えられて中央の正三角形が △ABC の何倍か，というのは，私でも知っている有名問題。) これを使うと，対称性より，BR を 2，RC を 1 として，正三角形の一辺は 1 となるのと，∠BRC = 120°から， 中央の正三角形：回りの三つの三角形(△RBCなど) = 1：2 となり，△ABC = 1 + 2 * 3 = 7 で，△RBC = 2/7 * △ABC とする方が算数らしくていいかもしれません。 ただ，ちょっと直感的で，図を描かないと説明しづらいので，別解としました。 同じく，ここまで分かってしまうと，中央にできる正三角形を並べて描いて考える，という解法もありますね。 |
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ネコの住む家
10月4日（木） 11:52:46
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