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doba |
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#30888 uchinyanさん
すみません、#30833についての訂正をしておくのを忘れてました。 結果的にこの(2)と(4)が言えなくはないですが、実は、これを分けて議論する 必要はなくなっています。つまり、#30885の図で、 (*) 接点のうちの片方が(II)のとき、α，β間の距離は１以上であることを示す ことが出来るので、これと(1),(3)で証明完となります。 ちなみに、(4)については(*)から自動的に言えますが、(2)については γへの投影図における輪郭を形成するＣＤ間の曲線の、点Ｃ、点Ｄにおける 方向ベクトルを調べることで、点Ｐにおけるαの可動範囲のどこであっても βが点Ｃないし点Ｄで接することはないことが言えると思います。 （αとβは投影図上では直線になっています。） この図形は、たしかにかなりイメージしづらいですよね。私の基本的なイメージは 次のようなものです。 #30885の図の一番上で、球Ａと球Ｂが重なっている状態を考えます。 その重複部分の「どら焼き型」がイメージできたら、エッジＣＤを含む 青の点線がそのどら焼き型のエッジとして見えてくるはずです。 この重複部分を、以下「どら焼きＡＢ」と呼びます。 そして、球Ａの輪郭である赤の点線と青の点線の組合せにより、 どら焼きＡＢの半分のドーム型がイメージできるかと思います。 同様にして、球Ｃと球Ｄの重複部分のどら焼き型（以下「どら焼きＣＤ」）を イメージします。エッジＡＢはどら焼きＣＤのエッジの一部となります。 ルーローの四面体は、この２つのどら焼き型の重複部分となります。 今回の図は、線分ＣＤを固定して、これを軸に回転させているので、 実はどら焼きＣＤは固定されています。 つまり、この一連の図は、どら焼きＣＤを固定して、 どら焼きＡＢを直線ＣＤを軸に回転させ、両者の重複部分を見る、 ということをやっているわけです。 左側のγへの投影では、ＰＤ間、ＰＣ間の輪郭はどちらもどら焼きＣＤの輪郭であり 固定されています。一方、ＣＤ間の輪郭は、必ずどら焼きＡＢの輪郭となっています。 なお、一番イメージしづらいのは、やはりＣＤ間の輪郭の形状の変遷と、 それと円Ｐの比較の部分だと思います。 30°回転の状態からＰ＝Ａの状態までの間の、赤の円、青の楕円、円Ｐの関係が どのように変化するかを少し誇張して書いた図を用意してみました。 http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/samp0.jpg オレンジ色の曲線が円Ｐ相当で固定。（この両端がＣとＤのつもりです。） 赤色の曲線が赤の円相当で、円Ｐと同じ形で少し下に離れた状態から 徐々に円Ｐに近づいていきます。 青色の曲線が青の楕円相当で、常にＣ，Ｄを通り、ｙ軸方向のサイズが徐々に 縮んでいきます。 図の上から順に(a)〜(e)とすると、各曲線の関係は次のように推移します。 (a) オレンジと青は、両端のみで交わる 青と赤は、真ん中の１点で接する (b) オレンジと青は、両端のみで交わる 青と赤は、２点で接する (c) オレンジと青は、両端で交わり、かつ、真ん中の１点で接する 青と赤は、２点で接する (d) オレンジと青は、両端および途中の２点の計４点で交わる 青と赤は、２点で接する (e) オレンジと青は、両端で接する 青と赤は、両端で接する（赤とオレンジは一致する） 見づらいので，このオレンジと青の関係、青と赤の関係だけを抜き出したのが http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/samp1.jpg http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/samp2.jpg です。また、実際のＣＤ間の輪郭は、青と赤が接する２点間では赤で、それ以外は青なので、 この輪郭とオレンジの関係を示したのが http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/samp3.jpg となります。 #30885の図の中段が、(a)に相当し、下段が(e)に相当します。 図では赤の円と青の楕円はＣＤ間ではほとんど一致しているようにしか見えませんが、 実際には中段から下段までの微妙な変化の中で、この両者および円Ｐの関係は このように細かく変化しています。 |
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9月28日（金） 15:14:31
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