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doba |
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#30848で言うところの、γへの投影図を、
http://www.tranzas.ne.jp/~gaf04242/work/Reuleaux.jpg に置いておきます。 左がγへの投影で、右がＡＢＮを通る平面への投影です。 ３つある一番上が、接点Ｐが丁度Ｅと一致する時で、 一番下がＰがＡと重なる時です。 （実際には、ＰがＡに限りなく近いがＡとは異なるエッジＡＢ上の点となる場合までが議論の対象です。） 赤の実線で示したのは球面がルーローの四面体の輪郭として見えている所で、 青の実線で示したのは、エッジです。 緑の実線は、核となっている正四面体です。 また、赤の点線は、頂点Ａを中心とする半径１の球面で、 青の点線は、エッジＣＤを含む、点Ｍを中心とする半径√3/2の円周です。 （なお、エッジＡＢとエッジＣＤ以外のエッジは、輪郭には出現しないので、図から省略しています。） 青の点線で示した円周は、赤の点線が輪郭となる球面に張り付いています。 γへの投影上での赤の点線の円（以下、赤の円）と青の点線の楕円（以下、青の楕円）の関係ですが、 30°回転した所（中段の図）では、両者は１点で接しています。（接点はエッジＣＤの真ん中） 図ではほとんど差が見えませんが、γへの投影において、 赤の円は、点Ｃ，Ｄを通っていないことに注意して下さい。 ＰとＣ，ＰとＤの距離は１ですが、点Ａの投影は点Ｐから(2√3-√6-1)/4＝0.0036…だけ下に離れているので、 赤の円も、Ｃ，Ｄより下を通ります。 この状態では、γへの投影上でルーローの四面体のＣＤ間の輪郭となっているのは、青の楕円（エッジＣＤ）です。 Ｐ＝Ａの時点（下段の図）では、両者は２点で接しています。（接点はＣとＤ） 非常にわかりにくいですが、交わっているのではなく、接していることに注意して下さい。 （青の点線の円が赤の点線の球面に張り付いているので、投影が交わることはありえません。） この状態では、γへの投影上でルーローの四面体のＣＤ間の輪郭となっているのは、赤の円です。 問題は、中段の図と下段の図の間の状態ですが、両者はＣとＤの途中の２点で接しています。 投影上の輪郭を形成するのは、その２点間では赤の円、外側では青の楕円となります。 #30848でも述べたように、この図で我々が検討しないといけないのは、 点ＰがＥからＡまで移動する間に、γへの投影上でのＣＤ間の輪郭が、 点Ｐを中心とする半径１の円周（すなわち、ルーローの三角形ＰＤＣの輪郭）よりも 常に外側にあるかということです。 （この点Ｐを中心とする半径１の円周（以下円Ｐ）は、図には書いていません。差が細かすぎて書けません（苦笑）） 上段図から中段図の間では、円Ｐと青の楕円は２点ＣＤのみで交わり、 ＣＤ間では楕円の方が下側にあることがすぐ確認できるので、問題ありません。 したがって、全ての厄介事は、中段図と下段図の間の微妙な領域に全て含まれることになります。 中段の図の状態でも、円Ｐは、青の楕円と２点ＣＤのみで交わっており、円Ｐの方が内側にあります。 その後、下段の状態に至るまでの途中のどこかのポイントで、 円Ｐと青の楕円は２点ＣＤで交わる他に、ＣＤの真ん中の１点で接します。 そこから、下段の状態に至る途中では、円Ｐと青の楕円は、 ２点ＣＤと、その間のさらに２点の計４点で交わります。 この時、この４点を順にＣ，Ｘ，Ｙ，Ｄとし、 さらに青の楕円と赤の円の接点をＣに近い方からＺ，Ｗとすると、 赤の円の方が円Ｐよりも外側にあることから、青の楕円上での並び順は Ｃ→Ｚ→Ｘ→Ｙ→Ｗ→Ｄとなるはずです。 ＸＹ間では青の楕円は円Ｐの内側に入ってしまいますが、 実際にはＺ，Ｗ間で輪郭として現れているのは赤の円の方なので、 立体の投影のＣＤ間の輪郭が、円Ｐの内側に入り込むことはありません。 以上で、（計算して確認しないといけない部分を補えば） 点ＰがエッジＥＡ上（点Ａを除く）にある時は、γへの投影上で ルーローの四面体の輪郭は、ルーローの三角形の外側に常に存在することが わかります。 なお、γへの投影上で、Ｎを原点として、Ｍの座標を(0,t)と置くと、 赤の円：x^2 + (y-t-√(1-2t^2)/2)^2 = 1 青の楕円：(4/3)x^2 + (2/3t^2)(y-t)^2 = 1 円Ｐ：x^2 + (y-√3/2)^2 = 1 となり、 上段図：t=√2/2 中段図：t=√6/4 下段図：t=√3/3 です。 |
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9月27日（木） 23:31:39
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