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doba |
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#30833の(2)と(4)について、
#30846で設定した頂点で言うと、ＡＢの中点をＭ、ＣＤの中点をＮ、エッジＡＢの中点をＥとして、 平面αがこの立体と、点Ａを除くエッジＡＥ上にある点Ｐで接する場合を考えます。 そのとき、エッジＡＢの曲線の点Ｐにおける方向ベクトルを法線とし、点Ｐを通る平面をγとすると、 α⊥γで、γは正三角形ＰＣＤを含みます。 この平面γへの投影図を書くと、平面αとβは平行線として表され、この立体の投影された図形と いずれも１点で接することになります。 投影図を丁寧に書くと、正三角形ＰＣＤは固定されるので、点Ａ，Ｍ，Ｂの移動範囲を考えて 細かい議論を重ねると、この(2)と(4)も言えるようです。 立体の投影された図形の輪郭を、正三角形ＰＣＤからできるルーローの三角形と比較すると、 弧ＰＣと弧ＰＤについては一致するので（←これもちょっと議論が必要）、 あとは、ＣＤを結ぶ曲線が必ずルーローの三角形の外側を通ることが言えればよいです。 ＣＤを結ぶ曲線は、Ａを中心とした球面の投影である、Ａを中心とした半径１の円周と、 エッジＣＤの投影である、Ｍを中心とした点Ｃ，Ｄを通る長径√3の楕円の組合せで出来ています。 この２つの曲線の関係により、少し場合分けが必要です。 |
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9月26日（水） 2:13:54
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