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doba |
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色々検討したことを書いておきます。
議論の準備： この立体の４頂点を Ａ(0,0,0),Ｂ(√2/2,√2/2,0),Ｃ(√2/2,0,√2/2),Ｄ(0,√2/2,√2/2) とする。 エッジＡＢは、ＣＤの中点(√2/4,√2/4,√2/2)を中心とした、半径√3/2の円弧なので、 2*(x-√2/4)^2+(z-√2/2)^2＝3/4, y=x と書ける。 この曲線（エッジＡＢ）の、点ＡにおけるＢに向かう側への方向ベクトルは(1,1,-1)である。 同様に エッジＡＣの点ＡにおけるＣに向かう側への方向ベクトルは(1,-1,1) エッジＡＤの点ＡにおけるＤに向かう側への方向ベクトルは(-1,1,1) となる。 （このことが、頂点Ａを立方体の辺上に置けないことの根拠となります。） #30833の(1) この立体が平行な２つの平面α，βとそれぞれ１点で接するとき、 αとエッジ以外(III)で接しているとき、接している球面の中心となる頂点は αから１離れているが、その頂点はαとβの間にあるので、αβ間の距離は１以上。 （１を超えることもある。） #30833の(3) この立体が、頂点Ａでαと、頂点Ｂでβと接しているとき、 図形全体を、ＡＢの中点を中心とした点対称の位置に移し、 α→α'、β→β'、立体ＡＢＣＤ→立体Ａ'Ｂ'Ｃ'Ｄ'とすると、 α'＝β、β'＝α、Ａ'＝Ｂ、Ｂ'＝Ａである。 このとき、立体ＡＢＣＤと、立体Ａ'Ｂ'Ｃ'Ｄ'（＝ＢＡＣ'Ｄ'）は、 ともに、点Ａ（＝Ｂ'）でα（＝β'）の同じ側と接している。 立体ＡＢＣＤのエッジＢＣの点ＢにおけるＣに向かう側への方向ベクトルは(1,-1,1)なので、 立体Ａ'Ｂ'Ｃ'Ｄ'のエッジＢ'Ｃ'の点Ｂ'におけるＣ'に向かう側への方向ベクトルは-(1,-1,1)＝(-1,1,-1) また、立体ＡＢＣＤのエッジＡＣの点ＡにおけるＣに向かう側への方向ベクトルは(1,-1,1) ここで、αの法線ベクトルが(1,-1,1)と垂直でなければ、エッジＢ'Ｃ'もエッジＡＣもαの同じ側にあることと矛盾 よって、αの法線ベクトルは(1,-1,1)と垂直。 同様の議論をエッジＡＤ，Ｂ'Ｄ'について行い、αの法線ベクトルは(-1,1,1)と垂直。 よって、αの法線ベクトルは(1,1,0)と平行⇔αは直線ＡＢと直交 したがって、αβ間の距離は、ＡＢ間の距離と等しく、１となる。 #30842 25no12さん ＞元になる四面体の一つの面と平行な二つの平面を考えて たしかに、それが一番わかりやすいですね。 なんであんな面倒なのを考えてたのだろう（汗） #30843 uchinyanさん ＞私の理解では，〜 その通りだと思います。 |
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9月26日（水） 1:03:39
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