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Reuleaux tetrahedronを構成する正四面体の頂点をABCDとし、頂点I(=A,B,C,D)を中心とする半径1のReuleaux tetrahedronの面をS[I]とする。
立方体の頂点のひとつを原点、これに隣り合う頂点をx,y,z軸上のx>0,y>0,z>0で配置する。 yz平面から最も遠いReuleaux tetrahedronを構成する正四面体ABCDの頂点をAとする。 Aからxy平面に垂直に降ろした線分が交わる点をHとする。 ここでHがReuleaux tetrahedron上の点であるなら立方体の最小値はたかだか1である。なぜならばHはAを中心とする半径1の球面S[A]上あるいは Reuleaux tetrahedronのS[A]と向かいある面S[B]上であるから。 ここでtを1より小さくするにはHが上記のいずれも満たさないときであればよい。 立方体の一辺を小さくするにはReuleaux tetrahedronはxy,yz,zx上にいずれかと接する場合を考えればよい。 Reuleaux tetrahedronの面上でA,B,C,Dの球のちょうど境界にあたる部分を縁とする。 tを1より小さくするにはReuleaux tetrahedronは縁で接しなければならない。(なぜならば縁でないReuleaux tetrahedron上の面S[1]とHで接するときAH=1となるから) したがって立方体が最小になるとき立方体の面とReuleaux tetrahedronのどの縁にも接している・・・(*) 立方体のどの向かい合う面に接するReuleaux tetrahedronが接するので弧AB,弧CD上でReuleaux tetrahedron上のそれぞれの点をP,QとするとPQの最小値はCB,CA,DA,DBのいずれかであるがどれも1である。このときA,B,C,Dで立方体の面と接することになる。この状態を＠とよぶことにする A,B,C,Dのいずれか2点は立方体の辺上にあることを示す。 (i)(A,B),(C,D)がそれぞれ立方体の向かいあう対面(辺、頂点をのぞく)にあるとするとA、Cは隣り合う立方体の対面上にないので(*)より縁ACは立方体の面と接する。これは＠に反する。 (ii)(A,B)が立方体の向かいあう対面、(A,C),(C,B),(B,D),(C,D)が隣りあう面上にあるとき (A,B)が立方体の向かいあう対面にあるので(i)より＠に反する。 以上から Tを一辺の長さ1からなる正四面体ABCDで構成されるReuleaux tetrahedronとし、立方体のねじれの辺上に2点A,B,他の2点C,DをA,Bを含まない立方体の辺、頂点をのぞいた面上にとるとき,立方体の辺の長さの最小値を求めよ。 と帰着できるわけですが、ここからが大変です。＠の状態でA,B,C,Dを立方体の頂点にとることはできないので、できるだけ立方体の頂点に近づけた位置なのだろう、という予想しかまだ立たないわけです。 [http://www.kent-web.com/pubc/book/test/uploader/uploader.cgi?mode=downld&no=315] |
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9月25日（火） 20:34:19
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