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#30829の前半部分の証明です。
(-1/2,(√2-1)/2,0)を中心とする半径１の球体をＰ ((√2-1)/2,-1/2,0)を中心とする半径１の球体をＱ (√2/4,√2/4,1/2)を中心とする半径１の球体をＲ (√2/4,√2/4,-1/2)を中心とする半径１の球体をＳ とし、ＲとＳの両方に含まれる領域をＴ、 Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓのいずれにも含まれる領域をＵとします。 Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓは，次のような領域と言えます。 Ｐ＝{(x,y,z)|(x+1/2)^2+(y-(√2-1)/2)^2+z^2≦1} Ｑ＝{(x,y,z)|(x-(√2-1)/2)^2+(y+1/2)^2+z^2≦1} Ｒ＝{(x,y,z)|(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2+(z-1/2)^2≦1} Ｓ＝{(x,y,z)|(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2+(z+1/2)^2≦1} 明らかに Ｐ⊂{(x,y,z)|x≦1/2} Ｑ⊂{(x,y,z)|y≦1/2} Ｒ⊂{(x,y,z)|z≧-1/2} Ｓ⊂{(x,y,z)|z≦1/2} なので、 Ｕ⊂{(x,y,z)|x≦1/2 かつ y≦1/2 かつ -1/2≦z≦1/2} …(1) (x,y,z)がＴに含まれるとき、 z＞0なら、Ｓに含まれることから (x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦1-(z+1/2)^2≦3/4 z＜0なら、Ｒに含まれることから (x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦1-(z-1/2)^2≦3/4 よって、 Ｔ⊂{(x,y,z)|(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦3/4} また、明らかに Ｐ⊂{(x,y,z)|(x+1/2)^2+(y-(√2-1)/2)^2≦1} Ｑ⊂{(x,y,z)|(x-(√2-1)/2)^2+(y+1/2)^2≦1} よって、 Ｕ⊂{(x,y,z)|(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦3/4 かつ (x+1/2)^2+(y-(√2-1)/2)^2≦1 かつ (x-(√2-1)/2)^2+(y+1/2)^2≦1} (x,y,z)がＵに含まれるとき y＞(√2-1)/2なら、(x-(√2-1)/2)^2+(y+1/2)^2≦1より (x-(√2-1)/2)^2≦1-(y+1/2)^2≦1/2 -1/2≦x≦√2-1/2 y＜(√2-1)/2なら、(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦3/4より (x-√2/4)^2≦3/4-(y-√2/4)^2＝3/4-(√2/4-y)^2≦3/4-(√2/4-(√2-1)/2)^2＝(3+2√2)/8 (x-√2/4)^2≦((2+√2)/4)^2 -1/2≦x≦(1+√2)/2 よって，yの値によらずx≧-1/2 x＞(√2-1)/2なら、(x+1/2)^2+(y-(√2-1)/2)^2≦1 (y-(√2-1)/2)^2≦1-(x+1/2)^2≦1/2 -1/2≦y≦√2-1/2 x＜(√2-1)/2なら、(x-√2/4)^2+(y-√2/4)^2≦3/4より (y-√2/4)^2≦3/4-(x-√2/4)^2＝3/4-(√2/4-x)^2≦3/4-(√2/4-(√2-1)/2)^2＝(3+2√2)/8 (y-√2/4)^2≦((2+√2)/4)^2 -1/2≦y≦(1+√2)/2 よって，xの値によらずy≧-1/2 これらより Ｕ⊂{(x,y,z)|x≧-1/2 かつ y≧-1/2} …(2) (1),(2)より Ｕ⊂{(x,y,z)|-1/2≦x≦1/2 かつ -1/2≦y≦1/2 かつ -1/2≦z≦1/2} |
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9月25日（火） 16:22:13
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