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25no12 |
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すみません、文字化けしたので再送します。
#30742に追記です。 引用したPDFの要点は、n個の自然数の積をkとして、kがシルベスター数列の積Kより小さいときは、n個の自然数の逆数の和s=m/k<(k-1)/k<(K-1)Kからsはシルベスター数列の逆数の和S=(K-1)/Kより小さく、kがKより大きいときはMuirhead's theoremを上手に用いる（対数を利用；すごく上手いと思いました）ことでs<=Sとなる（等号成立はn個の自然数がシルベスター数列と一致するとき）ことが数学的帰納法で言えるというものでした。 Muirhead's theorem (Muirhead's inequality)は下記の通り Let s1 >= s2 >= ... >= sn >= 0, and t1 >= t2 >= ... >= tn >= 0, and Σsi = Σti (i=1〜n) and for all k < n, Σsi >= Σti (i=1〜k) Then for all nonnegative numbers x1, x2, ..., xn, Σx1^sσ(1) x2^sσ(2) ... xn^sσ(n) >= Σx1^tσ(1) x2^tσ(2) ... xn^tσ(n) where the sums run over all the permutations σ of {1, 2, 3, ..., n} ※ （※例えば、n=3なら、(σ(1),σ(2),σ(3))=(1,2,3）, (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)、つまり並べ替えn!通りのすべてについてのΣ） ちなみに、si=(1,0,...,0), ti=(1/n,1/n,...,1/n)とすると、相加平均>=相乗平均となり、「平均に関する様々な不等式の一般化」と解説されています。 証明は下記サイトにありました。 http://mcraeclan.com/MathHelp/BasicNumberIneqMuirheadsInequality.htm n=2の場合は加重付き相加相乗平均（これも初見でしたが、微分を使って比較的簡単に証明できました）を利用して証明、nが3以上のときは、siとtiの中間的な数列を作って(n-1)項の比較でできるようにして数学的帰納法で証明するというもののようです（まだ骨格が（多分）分かっただけで、きっちりと検証はしていません）。 （Wikipediaにも解説（証明はなし）はあるのですが、sとtに関する不等式の向きが逆になっています） 数学なんて大学の教養以来、こんなの勉強した記憶ないです・・・（当時はεδが好きだった・・・）。 まだちゃんと消化できていないですが、いい勉強になりますね−。 スモークマンさん、「ラマヌジャン」って何？と調べてみましたが、インドの「天才」数学者なんですね。 世の中、猛烈にすごい人がいるものですね。 |
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9月19日（水） 14:07:34
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