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小西孝一 |
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uchinyanさん難波さんへ。
まだ勉強中なので非常に大雑把なのですが位数１５の群について・・・ まず、一般的に群Ｇの部分群の位数は、つねにＧの位数の約数になりますが、 その逆は言えません。 しかし、約数が素数冪の場合は、その部分群を持ちます。 １５の場合は３と５の位数の部分群を持ちます。 位数が素数だから明らかに巡回群です。 シローの定理より、位数５（ｑ）の部分群は（５＞３だから）共役が一つ だけとなり、正規部分群になります。 正規部分群ＨはＧの任意の元ｇに対しＨｇ＝ｇＨが成り立つ群です。 位数３のほうですが、シローより共役の数はｋｐ＋１（ｐ＝３）で、 これが、ｑの約数に等しくなります。 したがって、ｑか１です。 ｋｐ＋１＝ｑならｋｐ＝（ｑ−１）なので、ｑ−１がｐの倍数になります。 この場合は５−１＝４で３の倍数にならないのでｋｐ＋１＝１で、 ｋ＝０となり、共役が一つだけとなり、位数３のほうも正規部分群に なります。 そして、部分群Ｈが正規部分群で尚且つＧ／Ｈが可換群（アーベル群） の時は、交換子群Ｋを含みます。（交換子から生成される群） 交換子とはａｂａ’ｂ’（ａ’，ｂ’は逆元）の形の群Ｇの元です。 位数５の群をＡ、その元をａｉ。 位数３の群をＢ、その元をｂｉとしたとき、 ＡもＢも正規部分群は既に示しましたので、 （といっても説明になってませんが汗） Ｇ／Ａを考えると、Ａｂｉｂｊ＝Ａｂｊｂｉ つまり、ＡｉＡｊ＝ＡｊＡｉ でＧ／Ａはアーベル群 Ｂは巡回群なのでｂｉｂｊ＝ｂｊｂｉは明らか。 同様にＧ／Ｂもアーベル群。 よって、Ａの生成元をａ、Ｂの生成元をｂとした時、 交換子aba'b'をＡもＢも含みます。 Ａ且つＢ＝ｅ（単位元）しかないので、 ａｂａ’ｂ’＝ｅ ａｂ＝ｂａとなり （ａｂ）＾ｎ＝ａ＾ｎｂ＾ｎとなり これがｅとなるには１５でないといけません。 よってａｂの位数は１５ ∴群Ｇはａｂから生成される位数１５の巡回群になります。 え〜と私の説明より、下のＨＰを見て下さい。 ttp://www32.ocn.ne.jp/~graph_puzzle/1no48.htm 長々と申し訳ありませんでした。ｍ（＿）ｍ |
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ど田舎
9月17日（月） 18:27:10
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